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■--(無題)
++ ユウ(高校1年生)           

10進法で表された整数6a5b2を考える。
ただし、a,bはいずれも0以上9以下の整数である。

(1)このような整数のうち9で割り切れるものは
  ○○個あり、そのうちで最大のものは
  6○5○2である。

(2)このような整数のうちで12で割り切れるもの
  は○○個あり、そのうちで最小のものは
  6○5○2である。
 
 【答え】
   (1) 11個 69552 
   (2) 16個 60552

どうしてもわかりません
解説お願いします
.. 1/12(Thu) 17:39[14018]

++ かーと    
こんばんは。

(1)
6+a+5+b+2=9n の形になればいいので、
a+b=9n-13 という条件を満たせばいいです。

a+b≦18 なので、n は最大でも 3 ということになり、
n=3 で整数を最大にすると 69552 となります。

a+b=9n-13 を満たす数の個数は n=2,3 のそれぞれで
a,b の組み合わせがいくつ存在するか数えればいいです。

(2)
3 と 4 の両方で割り切れれば 12 で割り切れます。

4 で割り切れるには下2桁が 4 で割り切れればいいので、
b の候補は 1,3,5,7,9 の 5つということになります。

3 で割り切れるには 6+a+5+b+2=3n の形になればいいので、
a+b=3n-13 という条件を満たせばいいです。

あとは少々面倒ですが、(1) と似たように考えればいいです。

.. 1/12(Thu) 23:49[14020]
++ ユウ    
ありがとうございます
.. 1/13(Fri) 14:47[14024]
++ ユウ    
何度もすみません
(1)の n=3で整数を最大にする がわかりません
なぜa=9 b=5になるのでしょうか

.. 1/17(Tue) 22:31[14033]
++ ユウ    
すみません
(1)の問題で、なぜa+b≦18になるかもわかりません
申し訳ないです

.. 1/17(Tue) 22:48[14034]
++ かーと    
こんばんは。

>(1)の n=3で整数を最大にする がわかりません

a と b の和が小さいよりも大きいほうが、
6a5b2 をより大きな数にできるのは当然のことですね。

>なぜa=9 b=5になるのでしょうか

a のほうが位が上なので、a をできるだけ大きくしたほうが、
6a5b2 全体も大きくなります。

>(1)の問題で、なぜa+b≦18になるかもわかりません

a も b の1桁の数なので、最大で 9 です。
したがって、a+b は最大でも 18 にしかなりません。

.. 1/17(Tue) 23:55[14036]
■--2015 宮崎県2校共通(都城泉ヶ丘・宮崎西)
++ 理系 (小学6年)          

会話1
トンネル内には同じ間隔で設置してある基本照明があるんだよ。そして、トンネル全体がトンネルの入口の方から、A、B、Cの3つの区間に分かれていて、Bの区間は基本照明だけが設置してあり、AとCの区間には基本照明以外の照明を設置して照明の数を多くしているんだ。その照明のことは、後から説明するね。
とんねるX内の基本照明は、4m間隔で設置してあり、このトンネルに入って最初の基本照明から最後の基本照明までの長さが2120mだよ。このトンネルXの基本照明は全部で何個あるか分かるかな。
(ア)個だね。
正解。このトンネルXにはたくさんの基本照明がついているんだよ。
問1 会話1の(ア)にあてはまる数を答えてください。

会話2

次に、トンネルXのAとCの区間で、基本照明以外に設置してある照明について説明するね。この照明のことをAの区間では入口照明、Cの区間では出口照明というんだ。Aの区間では、4m間隔で設置されてある基本照明の間に、入口照明が1m間隔で3個設置してあるんだ。
Aの区間をもう少し詳しく見てみると、あ、い、うの3つの区間に分かれているんだ。あ、い、うの区間では、点灯している入口照明の数がちがっていて、Cの区間も同じようになっているんだよ。

区間
点灯している入口照明の数 あ:3個 い:2個 う:1個
区間の長さの範囲     最初の基本照明〜32m 32m〜112m 112m〜252M

あ、い、うの区間の中で、点灯している入口照明の数の合計が一番多い区間は(イ)で、一番少ない区間より(ウ)個多くなっているね。トンネルの照明は、運転者のことを考えて設置されているんだね。

問2 会話2の(イ)にあてはまる区間をあ〜うから選んでください。また、(ウ)にあてはまる数を答えてください。

会話3

次に、別のトンネルYの場合を考えてみよう。トンネルYの場合、基本照明は5m間隔で設置してあり、入口照明は基本照明の間に1m間隔で4個設置してあるんだ。あ、い、うの区間では、点灯している入口照明の数がちがっていて、Cの区間も同じようになっているんだよ。
そうなんだ。トンネルに設置してある照明のしくみが少し分かったよ。

区間
点灯している入口照明の数 あ:4個 い:3個 う:2個
区間の長さの範囲     最初の基本照明〜(エ)m (エ)〜(オ)m (オ)〜(カ)

問3
トンネルYのあの区間の基本照明の数は、トンネルXのあの区間の基本照明の数と同じでした。
また、トンネルYのいの区間で転倒している入口照明の数の合計は、トンネルYのうの区間で点灯している入口照明の数の合計と同じでした。
(1)(エ)(オ)(カ)にあてはまる数を答えてください。ただし、トンネルYの入口照明を設置するあ、い、うの区間の長さの合計300mにもっとも近い値です。
(2)トンネルYの照明の合計数は、トンネルXの照明の合計数の2倍でした。トンネルYの最初の基本照明から最後の基本照明までの長さを求めてください。
.. 1/17(Tue) 23:43[14035]

■--(無題)
++ yui (高校1年生)           

六角形ABCDEFがあり、AB=AF=DC=DE=2,BC=FE=1,
∠FAB=∠ABC=∠CDE=120がある。

三角形ACEの面積は @ であり,
2つの三角形ACE,DFBの共通部分の面積は A である。

【答】@ 2√3  A 5√3/4

解き方を教えて下さい
.. 1/14(Sat) 22:02[14025]

++ かーと    
こんばんは。

図形が対称的なのが明らかなので、角は全て 120° です。

あとは △DCE から CE を求めると、
△ACE の底辺も高さもすぐにわかるので面積が出ます。

△ACE の高さは △ABF の高さを先に考えればいいです。

次に AC と BF の交点を G、AE と BF の交点を H とし、
△AGH∽△ACE で相似比が 1:2 なのを利用して GH を求めます。

これがわかればあとは相似でも何でも使って進めていけます。

.. 1/15(Sun) 19:48[14027]
++      
ありがとうございます
.. 1/17(Tue) 21:36[14032]
■--(無題)
++ ジュエリー           

Oを中心とする半径1の円に内接する
正三角形がある
これをOを中心にどの頂点も
重ならないように回転すると
互いに交わる辺同士の内部に
六角形が作られる
この六角形の各頂点とOを結んでできる
6つの三角形は互いに合同であることを示せ
.. 1/17(Tue) 16:32[14031]

■--二次関数のグラフと場合分け
++ さくら (中学3年)          

2次関数 f(x)=x^2−2ax+4a (-1≦x≦3)の最小値をm(a)とします。
この時、頂点は(a,-a^2+4a)で軸はx=aとわかりました。
そして、軸による場合分けをする必要があるのですが、その場合分けの仕方がわかりません。

最終的には、aを横軸に、m(a)を縦軸にとってグラフを書き、
m(a)の最大値とそのときのaの値を求める、という問題です。

度々ありがとうございます。。よろしくお願いします。
.. 1/16(Mon) 22:47[14029]

++ かーと    
こんばんは。

m(a) についてどう考えるかということは横に置いて、
まずは「式に a を含む関数の最大最小問題」として考えます。

f(x) = x^2-2ax+4a
= (x-a)^2 -a^2+4a

定義域が軸を含むかどうかなどによって、
最小値が変化するので場合分けをしていきます。

(1) 定義域が軸を含む場合(-1≦a≦3)
このときは頂点で最小となるので x=a で最小値 -a^2+4a です。
すなわち、-1≦a≦3 では m(a)=f(a)=-a^2+4a となります。

(2) 軸が定義域よりも左にある場合(a<-1)
頂点に最も近い点で最小となるので x=-1 で最小値を取ります。
すなわち、a<-1 では m(a)=f(-1)=6a+1 となります。

(3) 軸が定義域よりも右にある場合(3<a)
頂点に最も近い点で最小となるので x=3 で最小値を取ります。
すなわち、3<a では m(a)=f(3)=-2a+9 となります。

これがわかれば、あとはそれほど難しい話ではありません。

.. 1/16(Mon) 22:58[14030]
■--算数・数学質問掲示板のご利用について
++ かーと           

#新着情報
なし

#掲示板のご利用について
1. タグの使用について
この掲示板ではタグを使うことができます。
上付きのsupタグや下付きのsubタグなどを使ってくださってもOKです。

2. 質問への回答について
質問への回答は基本的に管理人である私が行っています。

3. マルチポストについて
マルチポスト(=複数の掲示板への同一内容の投稿)は認めています。
マルチポストを理由に削除などをすることはありません。


その他わからないことがあれば掲示板で質問してください(´∇`*

このスレッドは定期的に上げておきます。
..11/26(Fri) 05:41[1]

■--場合の数と確率
++ かな (高校1年)          

袋の中に赤球4個,白球2個,黒球1個が入っている。

1個のさいころを投げ,奇数が出たら袋から球を3個取り,
偶数の目が出たら袋から球を4個取る。
このとき,赤球を取らない確率は○○であり,
赤球を2個以上取る確率は○○である。

また,取った球の中に黒球が含まれていたときに,
さいころの目が奇数である確率は○○である。

(答) 1/70 53/70 3/7

導き方を教えて下さい
.. 1/15(Sun) 15:38[14026]

++ かーと    
こんばんは。
名前はできるだけ一つにまとめておいてください。

>このとき,赤球を取らない確率は○○であり,
奇数かつ赤を取らない確率は (1/2)×(3C3/7C3) で、
偶数かつ赤を取らない確率は 0 なので、答えが出せます。

>赤球を2個以上取る確率は○○である。
赤球が 1個である確率がわかればすぐに答えが出ます。

奇数かつ赤が1個の確率は (1/2)×(4C1×3C2)/(7C3) で、
偶数かつ赤が1個の確率は (1/2)×(4C1×3C3)/(7C4) です。

これをたせば赤球が 1個の確率が出せます。

>取った球の中に黒球が含まれていたときに,
>さいころの目が奇数である確率は○○である。

黒球が含まれている事象を B、奇数である事象を O とします。
また、~ の記号は補集合を表すものとします。

求めたいものは P(O|B) であることを意識しておきます。

P(O∩B)=P(O)×P(B|O)=P(B)×P(O|B)

P(O) と P(B|O) はすぐに求まるので、P(O∩B) も求まります。

P(B) は P(O∩B)+P(~O∩B) とすれば求められるので、
これらを全て利用すると P(O|B) も求められます。

.. 1/15(Sun) 20:00[14028]
■--(無題)
++ miyu           

関数f(x)-x^2+2x+8がある。

f(x)の定義域を-2≦x≦aとする。ただし,aは-2より大きい実数である。

f(x)の最大値が8となるのはa=@のときであり,最大値が9となるのはa≧Aのときである。
また,f(x)の最大値と最小値が9となるのはB≦a≦Cのときである。

【答え】
   @ 0 
   A 1
   B 1
   C 4

解き方を教えてください
.. 1/12(Thu) 17:20[14016]

++ かーと    
こんばんは。

f(x)=-x^2+2x+8 と解釈します。
= -(x-1)^2+9

最大値が 8 になるとしたら、頂点が定義域に含まれず、
かつ f(a)=8 になるケースということになります。

このとき a<1 でないといけないことに注意します。

頂点が定義域に含まれれば、最大値は必ず 9 になります。

>f(x)の最大値と最小値が9となる

「最大値と最小値の差が 9」ですかね。

f(-2)=0 より、頂点が定義域に含まれていて、
なおかつ x=-2 で最小値を取れば差は 9 になります。

すなわち、f(a)≧f(-2) となっていることが必要です。

.. 1/12(Thu) 23:55[14021]
++ miyu    
ありがとうございました
.. 1/13(Fri) 14:36[14023]
■--(無題)
++ みわ(高校1年生)           

x^2-4x+a=0…(#)
x^2-2ax-a+6=0…(##)
がある。ただしaは実数の定数である。

(1)方程式(#)が重解をもつようなaの値は@であり,
  2つの方程式(#),(##)がともに実数解をもつよ   うなaの値の範囲はa≦A,B≦a≦Cである。

(2)方程式(#)が負の解をもつようなaの値の範囲はa   <Dであり,2つの方程式(#),(##)がいずれも負   の解をもたないようなaの値の範囲はE≦a≦F    である。

【答】
   @ 4 
   A -3
   B 2
   C 4
   D 0
   E 0
   F 6

解き方を教えて下さい
.. 1/12(Thu) 17:22[14017]

++ かーと    
こんばんは。

(#) の判別式を D1、(##) の判別式を D2 とします。

@
D1=0 になる a を求めます。

A〜C
D1≧0 かつ D2≧0 となる a の範囲を求めます。

D
f(x)=x^2-4x+a という関数を考えたとき、
[1] f(0)<0
[2] f(0)>0 かつ D1>0 かつ 軸のx座標<0
のどちらを満たせばいいです。

E〜F
D と同様に (##) が負の解を持つ範囲を求めます。

g(x)=x^2-2ax-a+6 という関数を考えたとき、
[1] f(0)<0
[2] f(0)>0 かつ D2>0 かつ 軸のx座標<0
のどちらを満たせばいいです。

ただし、こちらは D2=0 のケースで負の解を取ることがあるので、
その条件についてもそこに付け加えておく必要があります。

あとは D と今求めた範囲のどちらにも入らない範囲を求めればいいです。

.. 1/12(Thu) 23:44[14019]
++ みわ    
ありがとうございますm(._.)m
.. 1/13(Fri) 14:34[14022]
■--お願いします。
++ イチゴ (中学2年)          

点(1.1)を通り、Y軸と点(0.4)で交わる直線
をおしえてください。
.. 1/10(Tue) 22:17[14013]

++ かーと    
こんばんは。

>Y軸と点(0.4)で交わる直線

これは切片が 4 ということですので、
式は y=ax+4 の形で表すことができます。

これが (1,1) を通るので x=1, y=1 を代入すると、
1=a+4 → a=-3 となり、y=-3x+4 となります。

.. 1/10(Tue) 23:32[14014]
++ イチゴ (中学2年)    
理解出来ました!
ありがとうございました。

.. 1/11(Wed) 00:36[14015]
■--高1 場合の数
++ のの (高校1年)          

高1の場合の数から質問です。

a.b.c.dの4種類のノートを合わせて10冊買います。
次のような買い方は何通りあるか求めよ。
1.買わないノートがあっても良い時
2.どのノートも少なくとも1冊は買う時

回答は1は286冊 2は84冊
となります。

よくわからなかったので質問させていただきました。
よろしくお願いします。
.. 1/ 9(Mon) 20:55[14011]

++ かーと    
こんばんは。

このタイプの問題は ○ と仕切りを並べる問題として考えます。

たとえば ○○|○○○||○○○○○ だったら、
a=2, b=3, c=0, d=5 というように考えられます。

1.
10個の ○ と 3個 の仕切りを並べればいいので、
13個の箱の中に仕切りを入れる 3つの場所を選べばよく、
13C3=(13*12*11)/(3*2*1)=286 通りとなります。

2.
a,b,c,d を各1冊ずつ先に確保すると、残りは 6冊なので、
6個の ○ と 3個 の仕切りを並べればいいので、
9個の箱の中に仕切りを入れる 3つの場所を選べばよく、
9C3=(9*8*7)/(3*2*1)=84 通りとなります。

.. 1/10(Tue) 00:43[14012]
■--この違いは何ですか?
++ Sora           

√3/2は、0.886になります。
2/√3(√3/2の逆数)は、1.515になります。
しかし、0.886の逆数
1/0.886は、1.129となり
1.515には一致しません。
なぜでしょうか?

宜しくお願いします。m(__)m
.. 1/ 7(Sat) 22:32[14009]

++ かーと    
こんばんは。

単なる細かい計算間違いですね。

√3≒1.732 として計算します。

√3/2=1.732/2=0.866
2/√3=2/1.732=1.155
1/0.866=1.155

ちゃんと一致しますね。

.. 1/ 8(Sun) 01:57[14010]
■--高1 三角比 空間図形の計量
++ ゆずは (高校1年)          


こんにちは
いつもお世話になっております!


半径2の球面上に3点ABCがあり、AB=2、BC=√7、CA=3である。
球の中心をOとする時、三角錐OABCの体積を求めよ。





お願いします!
.. 1/ 6(Fri) 12:14[14004]

++ かーと    
こんにちは。

O から下した垂線が △ABC のどのあたりと交わるのか、
これをまず考えていく必要があるでしょうね。

ここで、O から下した垂線と △ABC との交点を H とします。

この三角錐を △OAB が自分の正面に来るように置くと、
O から △ABC に下した垂線は OA=OB であることから、
OA と OB から対称的な位置に来ることがわかります。

これはすなわち H が AB の垂直二等分線上にあることを意味します。

これは △OBC, △OCA を正面に置いたときにも言えるので、
H は AB, BC, CA の垂直二等分線の交点、△ABC の外接円の中心です。

このことがわかってしまえば、あとは何とかなると思います。

.. 1/ 6(Fri) 14:59[14005]
++ ゆずは    
返信遅くなってしまって申し訳ないです🙇♀

無事解答まで行き着くことができました!!

ありがとうございました!

.. 1/ 7(Sat) 18:14[14008]
■--分数の計算 足し算引き算の計算のやり方
++ 花 (小学6年)          

わかる方誰か教えてください
.. 1/ 6(Fri) 18:34[14006]

++ かーと    
こんばんは。

[大事なこと その1]
分数は分母が違うままだと足したり引いたりできません。

1/2 + 1/3

なので、分母が等しくなるようにしてあげる必要があります。

[大事なこと その2]
分数は分母と分子に同じ数をかけても大きさは変わりません。

1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12
などの関係があります。

なので、この方法を使って分母をそろえるのが大事です。

例:
1/2 + 2/5

分母を 2 と 5 の最小公倍数である 10 にそろえます。

1/2 は分母分子に 5 をかけると 5/10 になります。
2/5 は分母分子に 2 をかけると 4/10 になります。

1/2 + 2/5 = 5/10 + 4/10 = 9/10

.. 1/ 6(Fri) 20:48[14007]
■--(無題)
++ ペンダント           

センター試験の過去問なんですが
条件:nは2より大きい素数である

nは「2より大きい かつ 素数」と同値で
その否定は
nは「2より小さい または 素数ではない」
と考えたのですがで合ってますか?
.. 1/ 4(Wed) 21:19[14002]

++ かーと    
こんばんは。

いえ、少し間違えています。

「2 より大きい(n>2) かつ 素数」の否定は、
「2 以下(n≦2) または 素数ではない」です。

.. 1/ 4(Wed) 21:22[14003]
■--(無題)
++ ism (高校1年)          

おはようございます。
連続ですみません。

2つの2次関数 y=x^2+(m+1)x+m^2、y=x^2+2mx+2m のグラフが
ともにx軸と共有点をもつとき、定数mの値の範囲を求めよ。

よろしくお願いします。
.. 1/ 3(Tue) 09:11[13999]

++ かーと    
こんにちは。

x軸と共有点を持つ ⇔ 判別式 D≧0
なので、これをもとにして連立不等式を作ります。

y=x^2+(m+1)x+m^2

D = (m+1)^2-4m^2≧0
-3m^2+2m+1≧0
3m^2-2m-1≦0
(3m+1)(m-1)≦0
-1/3≦m≦1 ・・・[1]

y=x^2+2mx+2m

D = 4m^2-8m≧0
m^2-2m≧0
m(m-2)≧0
m≦0, 2≦m ・・・[2]

あとは [1] と [2] の共通範囲を導き出すだけです。

.. 1/ 3(Tue) 16:39[14000]
++ ism (高校1年)    
こんばんは。
ありがとうございました。

.. 1/ 3(Tue) 19:18[14001]
■--2次関数
++ ism (高校1年)          

こんばんは。
教えてください。

放物線 y=x^2-3x+2 と y=x+k が接するとき、定数kの値を求めよ
また、そのときの接点の座標を求めよ。

よろしくお願いします。
.. 1/ 3(Tue) 02:02[13996]

++ かーと    
こんばんは。

x^2-3x+2=x+k の2次方程式が重解を持つ条件と同じです。

x^2-4x+(2-k)=0

判別式 D=16-4(2-k)=0 を解けば k が求まります。

k の値がわかれば、接点の座標はすぐに求まるでしょう。

.. 1/ 3(Tue) 02:04[13997]
++ ism (高校1年)    
おはようございます。
ありがとうございました。

.. 1/ 3(Tue) 09:03[13998]
■--確率
++ yrk           

赤玉が2個、白玉が4個あり、白玉には0.1.2.3の4つの数字が一つずつ書かれている。この6個の玉を横一列に並べる。ただし、赤玉2個は区別がつかないものとする。
(1)
赤玉2個にはさまれた白玉に書かれている数の積をXとする。ただし、赤玉にはさまれた白玉が一個の時はその白玉に書かれている数をXとし、赤玉が連続しているときはX=0とする。
この時X=1となる確率を求めよ。

》》》解答
ポイントは確率を求める時は赤玉2個を区別することである
赤玉2個を区別すると6個の並べ方は全部で6!で720通り
よって求める確率は
R1@R2 0.2.3 となるとき
2!✖️4!=48
よって48➗720=1/15


分からないところ》》》

問題文には赤玉2個は区別しないと書いてあるのに
確率を求めるには赤玉2個を区別することがポイントと書いてある。
どうして、赤玉2個を区別しなければならないのですか。
.. 1/ 2(Mon) 08:59[13994]

++ かーと    
こんにちは。

確率において場合の数を考えるときは、
つねに「それぞれの場合の発生確率が同じかどうか」、
「同様に確からしいかどうか」を考えないといけません。

たとえば 1,2,3,4,5 が各1面ずつあり、
残りが全て 6 の100面サイコロがあったとします。

これは出る目の場合の数で言えば普通に 6通りですが、
では 1 の出る確率が 1/6 かというと、そうではないですね。

これを 6通りとしてしまうと、6 だけが発生確率が違うので、
そのまま確率を計算しようとするとおかしくなるわけです。

ここで 95個 の 6 を全て区別して全100通りと考えれば、
全ての面の発生確率がちゃんと等しくなるので、
1 の出る確率も 1/100 として正しく出せることになります。

その問題で赤玉を区別しているのも基本にある発想は同じです。
全部区別してしまえば「同様に確からしい」状態になりますので。

.. 1/ 2(Mon) 15:38[13995]
■--(無題)
++ ミカン           

C:x^2+y^2=r^2
D:y=(1/2)x^2+1
がある。
D上でx座標がtである点における接線が
Cに接するとき,
そのような接線が通過する領域を図示せよ
..12/31(Sat) 14:45[13991]

++ かーと    
こんにちは。

共通した接線が引けるとしても数本にとどまりますし、
r を変化させると考えても、t は全ての値を取れるため、
共通接線の話である意味がなくなってしまうなど、
ちょっと問題の意図するところが見えにくいですね。

数本の共通接線を書いて終わりというのも変な話ですし。

単に計算を間違えてしまっているのかもしれませんが。

.. 1/ 1(Sun) 16:14[13992]
++ ミカン    
ありがとうございました
.. 1/ 1(Sun) 18:32[13993]
■--(無題)
++ りんご           

0°<θ<90°のとき、
4cos^2+2sinθcosθ−1=0のとき、
cosθ、sinθを求めよ
お願いします
..12/30(Fri) 12:00[13988]

++ かーと    
こんにちは。

sin と cos の倍角公式を逆に適用することで、
sin2θ と cos2θ の式へと変形していきます。

4cos^2θ+2sinθcosθ-1=0
2(cos2θ+1)+sin2θ-1=0
sin2θ+2cos2θ=-1

cos2θ=x と置くと、sin2θ=√(1-x^2) となるので、
√(1-x^2) + 2x = -1

これを解くと x=0, -4/5 で、このうち x=0 は不適なので、
cos2θ=-4/5 となるので、ここから sinθ と cosθ が求まるでしょう。

..12/30(Fri) 17:09[13990]

   


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