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■--因数分解
++ ルイ (中学2年)          

かーとさんありがとうございます。
置換方法では解かない問題でした。 ご迷惑かけてすみません。
.. 7/21(Fri) 17:19[14686]

■--(無題)
++ 算数太郎           

こないだの物です。すいません。x - {(x-1)/3 + 1} この式がいくら計算しても三分の二 x -1になりません。途中式をお願いいたします!
.. 7/21(Fri) 15:00[14684]

++ かーと    
こんにちは。

x - {(x-1)/3 + 1}
= x - {(x-1)/3 + 3/3}
= x - (x+2)/3
= 3x/3 + (-x-2)/3
= (2x-2)/3
= (2/3)(x-1)

.. 7/21(Fri) 16:14[14685]
■--確率について
++ ななし           

確率について質問させてもらいます。


赤、白、青の球がおのおのa,b,c(0<a≦b≦c)個入った箱から、2個の球を同時に取り出すことを考える。
1.n=a+b+c,s=a²+b²+c²とする。取り出した2個の球の色が相異なる確率P(a,b,c)をn,sを使って表せ。
2.n=11のとき、P(a,b,c)を最大にするa,b,cを求めよ。

1については、P(a,b,c)=n²-s/n(n-1)になることは分かりました。
2についてはsが最小のときにP(a,b,c)は最大になることは分かるのですが、ここからが分かりません。よろしくお願いします。


※参考書のヒントは以下のようになってました。
0<a≦b≦cかつa+b+c=11であるから、a+a+a≦11より、a≦11/3

1+b+b≦11よりb≦5すなわちa≦3,b≦5このへんはもうちんぷんかんぷんです(笑)
解説をよろしくお願いします。
.. 7/19(Wed) 12:38[14672]

++ かーと    
こんにちは。

後半の話は確率とは関係なく、もっと単純な話です。

0<a≦b≦c と a+b+c=11 という 2つの条件を考えたとき、
a はいったいどこまで大きくできるか、b についてはどうか、
そうしたことをその 2つの条件のみから導いているだけです。

a が最も大きくなるとき、b や c は最小になります。
b や c が大きくなるほど、a は小さくなりますから。

b と c は a以上 なので、最小になっても b=a, c=a です。
したがって、a の最大値は a+a+a=11 → a=11/3 となります。

b が最も大きくなるとき、a や c は最小になります。
a の最小は 1、c は c=b までしか小さくなれないので、
b の最大値は 1+b+b=11 → b=5 となります。

.. 7/19(Wed) 13:51[14674]
++ ななし    
こんにちは。

かーとさん、a,bですが、参考書ではa≦3,b≦5と範囲表現になってますが・・・・

また解答は、a=3,b=4,c=4となっていました。
これはどういう考え方で解いていけばいいのでしょうか??

よろしくお願いします。

.. 7/20(Thu) 13:37[14679]
++ かーと    
こんばんは。

a の最大値が 3/11 で、a は自然数なのですから、
1≦a≦3 というのは、そこからすぐにわかることです。

仮に a を固定して b+c=m とでも表すことにしたとき、
a^2+b^2+c^2
= a^2+b^2+(m-b)^2
= a^2+b^2+m^2-2bm+b^2
= 2b^2-2bm+a^2+m^2
これを平方完成すると b=m/2 のとき、
すなわち b=c のときに最小になることがわかります。
(b=c になれないケースでは b と c が最も近いときに最小)

これがわかれば a=1,2,3 のそれぞれのケースについて、
最小値を求めて、それらを比べれば解くことができます。

.. 7/20(Thu) 15:26[14680]
++ ななし    
解説ありがとうございました。
.. 7/21(Fri) 13:34[14683]
■--算数・数学質問掲示板のご利用について
++ かーと           

#新着情報
なし

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1. タグの使用について
この掲示板ではタグを使うことができます。
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質問への回答は基本的に管理人である私が行っています。

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マルチポストを理由に削除などをすることはありません。


その他わからないことがあれば掲示板で質問してください(´∇`*

このスレッドは定期的に上げておきます。
..11/26(Fri) 05:41[1]

■--因数分解
++ ルイ (中学2年)          

質問失礼します。
a二乗+ab +b−1を置換して因数分解するとどうなりますか?
解説、解答よろしくお願いいたします。
.. 7/20(Thu) 23:29[14681]

++ かーと    
こんばんは。

a^2+ab+b-1
= b(a+1)+a^2-1
= b(a+1)+(a+1)(a-1)

M=a+1 とおく

bM+(a-1)M
= M{b+(a-1)}
= (a+1)(a+b-1)

置換すると言っても、こんな使い方ぐらいしかできないですね。

.. 7/20(Thu) 23:33[14682]
■--(無題)
++ ゆー (高校1年)          

質問させてください

-2≦a≦1、2≦b≦4のときa^2+2bの範囲を表す式の解答が
4≦a^2+2b≦12
となっているんですが、どのように求めたらいいのか教えてください。
.. 7/19(Wed) 23:12[14677]

++ かーと    
こんばんは。

2b の範囲は 2≦b≦4 を 2倍して 4≦2b≦8 なので、
最小値は 4、最大値は 8 になることがわかります。

a^2 は a=0 で最小値 0、a=-2 のときに最大値 4 となるので、
全体で見ると最小値は a=0, b=2 のとき a^2+2b=4、
最大値は a=-2, b=4 のとき a^2+2b=12 となります。

したがって、a^2+2b の範囲は 4≦a^2+2b≦12 です。

.. 7/19(Wed) 23:27[14678]
■--高校 数1
++ 武野           

はじめまして。むのと申します。
三角比について質問させてください。
0≦θ≦180 でsinθ+cosθ=√5/3 のとき、cosθ-sinθを求めよ



どうかご解説の程、よろしくお願いします。
.. 7/19(Wed) 14:00[14675]

++ かーと    
こんにちは。

√5/3 は (√5)/3 の意味で解釈します。

あとは普通に計算していきます。

sinθ+cosθ=√5/3
(sinθ+cosθ)^2=5/9
sin^2θ+cos^2θ+2sinθcosθ=5/9
2sinθcosθ=-4/9
sinθcosθ=-2/9

sinθcosθ<0 より、θ は第2象限の角だとわかります。

(cosθ-sinθ)^2
= sin^2θ+cos^2θ-2sinθcosθ
= 1+4/9
= 13/9

cosθ-sinθ=±(√13)/3

θ は第2象限の角なので cosθ-sinθ=-(√13)/3

.. 7/19(Wed) 14:23[14676]
■--(無題)
++ ぉ           

この問題を教えてください

白玉が4個、黒玉が3個、赤玉が1個あるとする。これらを1列に並べる方法は何通りあるか、円形に並べる方法は何通りあるかさらに、これらの玉にひもを通し、輪を作る方法は、何通りあるか。
.. 7/19(Wed) 12:22[14671]

++ かーと    
こんにちは。

◎1列に並べる
8C1(赤玉の場所選び)×7C3(黒玉の場所選び)

◎円形に並べる
赤玉を固定して考える

7C3(黒球の場所選び)

◎数珠状に並べる
一番上を赤玉として固定する

[1] 一番下を白玉にした場合
右側のほうが白玉の数が多いケースのみ考える
(左側のほうに白玉が多いケースは、
 右側に白玉が多いケースを裏返せば全て作れるので)

右側の白玉が3個の場合 1通り
右側の白玉が2個の場合 3×3通り

[2] 一番下を黒玉にした場合
右側のほうが白玉の数が多い(またが同じ)ケースのみ考える
(左側のほうに白玉が多いケースは、
 右側に白玉が多いケースを裏返せば全て作れるので)

右側の白玉が3個の場合 3通り
右側の白玉が2個の場合 6通り

白玉が2個のケースは一見9通りのように見えますが、
書き出すと裏返したときに同じになるものが 3つまざってます。
(左右対称でない配置のものは裏返したときに同じものがある)

.. 7/19(Wed) 13:47[14673]
■--(無題)
++ 算数太郎           

工場で製品がxg製造され、xkg全てがA社に搬送される。この後は、下記の規則に従い、A社からB社に、Bからcに送られる。
規則
搬入された製品から1kgサンプルとして保存し、その残りの三分の一を使用する。あと残った分は全て搬送される。

問題
A社での製品の使用量をxで表せ。またA社からB社へ搬送される製品が16kgの時、xを求めろ。
お願いいたします
.. 7/18(Tue) 22:19[14669]

++ かーと    
こんばんは。

A社での使用量 (x-1)/3 kg
A社で残った量 x - {(x-1)/3 + 1} = (2/3)(x-1) kg

(2/3)(x-1)=16 なので、x=25 kg

.. 7/18(Tue) 22:32[14670]
■--(無題)
++ るる (高校1年)          

Y=(sinx-4)/(cosx+2) のとりうる値の範囲を求めよ
ただし微分を用いず答えよ
すいません!再投稿です!
よろしくお願いします!
.. 7/14(Fri) 22:18[14667]

++ かーと    
こんにちは。

t=tan(x/2) と置いて、ゴリゴリ進めるしかないですかね。

t=tan(x/2) と置くと、
sinx=2t/(1+t^2) , cosx=(1-t^2)/(1+t^2)
となるので、

{2t/(1+t^2) - 4}/{(1-t^2)/(1+t^2) + 2}
= {2t-4(1+t^2)}/{(1-t^2)+2(1+t^2)}
= (-4t^2+2t-4)/(t^2+3)

これを k と置きます。

(-4t^2+2t-4)/(t^2+3)=k
(k+4)t^2-2t+(3k+4)=0

k が解を持つ t の範囲を考えればいいです。

k=-4 のときだけは1次方程式になるので別途考えて、
それ以外のときは D≧0 となる t の範囲を求めればいいでしょう。

.. 7/15(Sat) 13:19[14668]
■--(無題)
++ るる (高校1年)          

Y=sinx−4/cosx+2のとりうる値の範囲を求めよ
ただし微分を用いず答えよ。
よろしくお願いします!
.. 7/14(Fri) 22:03[14665]

++ かーと    
こんばんは。

その式の書き方ではどこが分子でどこが分母かわからないので、
(sinx-4)/(cosx+2) とか sinx-(4/cosx)+2 というように、
式の解釈がわかるような書き方でお願いします。

.. 7/14(Fri) 22:14[14666]
■--(無題)
++ 白兎           

次の行列式を因数分解せよ。
a b b
a a b
a a a


よろしくお願いします。
.. 7/11(Tue) 21:45[14663]

++ かーと    
こんばんは。

行列式の性質を使って簡単にしていきます。

|a b b|
|a a b|
|a a a|

 |1 b b|
=a|1 a b|
 |1 a a|

 |1 b  b |
=a|0 a-b 0 |
 |0 a-b a-b|

=a|a-b 0 |
 |a-b a-b|

=a(a-b)^2

.. 7/11(Tue) 22:05[14664]
■--(無題)
++ ぬまっきー           

おしえてください。  問題
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ある品物に仕入れ値の1割のもうけを見込んで定価をつけましたが、
売れないので定価の5割引きで売ったところ、利益が270円になりました。この品物の仕入れの値はいくらですか?
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
答え 6000です。

よろしくおねがいします。
.. 7/11(Tue) 10:51[14660]

++ かーと    
こんばんは。

その売り方だと、確実に赤字になるので問題がおかしいです。

もし仕入れ値が 6000円 なら、定価は 6600 円、
その 5割引きは 3300円 となるので、利益は出ません。

.. 7/11(Tue) 11:44[14661]
++ ぬまっきー    
かーとさん 解説ありがとうございました。
やはりそうですね 問題まぢかいだと思いますので
確認してみます。 ありがとうございました。

.. 7/11(Tue) 13:12[14662]
■--(無題)
++ なん           

こんにちは!
解き方を教えていただきたいです!

直線lはy=3/2x、直線mはy=-1/2x+4である。
lとmの交点をA、mとx軸との交点をBとする。
また、点Aを通り、傾きが-1の直線とx軸との交点をCとするとき、
△AOCと△ACBの面積の比を求めよ

解答は5:3です。
よろしくお願いします!
.. 7/10(Mon) 13:04[14655]

++ かーと    
こんにちは。

地道に解いていけば特に難しい点はないです。

(1) まず A の座標を連立方程式として求める → (2,3)
(2) B の座標を求める → (8,0)
(3) A を通り、傾きが -1 の直線を求める → -x+5
(4) その直線と x軸との交点 C を求める → (5,0)
(5) △AOC と △ACB は OC と CB を底辺として見れば、どちらも高さは同じ
  したがって、面積には底辺の長さの比と同じとなり、OC=5, CB=8-5=3 より、
  面積比は 5:3 ということになります。

.. 7/10(Mon) 13:32[14656]
++ なん    
理解できました!!
ありがとうございます!
もう一問いいですか?(>_<)

60℃の水100gに塩化ナトリウム20gを入れてかき混ぜたところ、
塩化ナトリウムはとけきった。この水溶液の温度を60℃に
保ちつつ、さらに塩化ナトリウム20gを追加してかき混ぜ、
とけるだけとかした。このときの水溶液の質量パーセント濃度
を求めよ。ただし、塩化ナトリウムの60℃の水100gに対する
溶解度は27gとする。

解答は約21%です。
よろしくお願いします。

.. 7/10(Mon) 13:48[14657]
++ かーと    
こんにちは。

60℃の水 100g には塩化ナトリウムは 27g しか溶けず、
食塩水全体の質量(溶け残っている食塩は含めない)は
100+27=127g なので、濃度は (27/127)×100=約21% となります。

.. 7/10(Mon) 14:01[14658]
++ なん    
わかりやすく教えていただきありがとうございました!
.. 7/10(Mon) 16:30[14659]
■--関西大の数学
++ 井上           

cos2x+2ksinx+k-4=0(0≦x≦π)の異なる解の個数が2つであるためのkのみたす条件を数三の微分を用いてt=sinxと置かずに解く方法を教えて下さい
.. 7/ 4(Tue) 22:52[14644]

++ かーと    
こんばんは。

この問題は極めて正攻法で解いていけばいいでしょう。

左辺を f(x) と置いたうえで、f(x) を普通に微分し、
f'(x)=0 となる点を求めて増減表を書けばいいです。

極値は cosx=0 と sinx=k/2 となる点で取りますが、
後者は k の値によって 0≦x≦π 内での解の個数が変わります。

したがって、0<k/2<1, k/2=0, k/2=1, k/2<0, 1<k/2 の
5つに場合分けをしたうえで調べていけばいいでしょう。

一見するとかなり面倒そうに見えてしまう問題ですが、
k がある値より小さくなると解の個数が 0個になって、
あまり考える必要がなくなるのでそこまで複雑ではないです。

.. 7/ 4(Tue) 23:04[14645]
++ 井上    
kの値で場合分けをしたのですがうまくできませんでした
もしよろしければ解答解説お願いします

.. 7/ 6(Thu) 15:17[14653]
++ かーと    
こんばんは。

最も面倒は 0<k/2<1 のケースだけ解説します。

f'=-cosx(2sinx-k)

cosx=0, 2sinx-k=0 となる点で極値を取ります。

sinx=k/2 となるのは 0<x<π/2 の範囲に1つ(α とする)、
π/2<x<π の範囲に1つ(β とする)ということになります。

したがって、これをもとに増減表を書くと、
α で極大、π/2 で極小、β で極大となります。

これが x 軸と交点を持つ個数が2個になるためには、
極小値 3k-5>0 であればいいことがわかります。

したがって、5/3<k<2 の範囲はokだとわかります。

-------------

ちなみに k/2=1, 2/k>1 の範囲では極大のみを取り、
当然ながらその極大は 0 より大きいので解は2つです。

k/2=0 のときは極大になるのが x=0 となり、
この値が 0 より小さいことから解は持ちません。

k/2<0 のときは極大が定義域の外側に行ってしまい、
最大値である x=0,π が 0 より小さいので解なしです。

.. 7/ 7(Fri) 01:09[14654]
■--微分の問題です
++ おバカ           

pを0<p<1である定数とする。x>0,x≠1のとき(x^p−1)/(x−1)とpx^{(p−1)/2}の大小を調べよ。
教えてください。
.. 7/ 6(Thu) 01:53[14652]

■--部分分数分解
++ ねりー           

虚数が入った部分分数分解のやり方がわかりません
例えば1/(z^2+1)教えてほしいです!
.. 7/ 5(Wed) 21:45[14648]

++ かーと    
こんばんは。

普通に部分分数分解をするときと同じように解きます。

1/(z^2+1)
= 1/(z+i)(z-i)
= a/(z+i) + b/(z-i)
= {a(z-i)+b(z+i)}/(z+i)(z-i)
= {z(a+b)+i(b-a)}/(z+i)(z-i)

あとは a+b=0, i(b-a)=1 を解けばいいです。

i(b-a)=1
i*2b=1
b=1/(2i)
b=-i/2

a=i/2

.. 7/ 5(Wed) 23:18[14650]
++ ねりー    
こんばんは
おんなじように出来たんですね!
何故か実部と虚部の比較かと思って全然できなかったんです。
ありがとうございました

.. 7/ 6(Thu) 00:57[14651]
■--(無題)
++ あ           

iは虚数単位とする
cosiは実数か

できれば高校数学の範囲でといて欲しいです
.. 7/ 5(Wed) 20:03[14646]

++ かーと    
こんばんは。

そもそも cosi について、どのような定義をするのか、
そこがはっきりしないので解きようがありません。

.. 7/ 5(Wed) 23:14[14649]
■--中学、図形、基礎、が分かりません…
++ のーと           

「平行四辺形ABCDの∠BADと∠CDAのそれぞれの二等分線の交点をEとする。このとき∠AEDは何度になるか求めよ」が90°になる導き方が分かりません…どなたかご教授お願い致します。m(__)m
.. 6/30(Fri) 19:48[14624]

++ かーと    
こんばんは。

∠AED=180°-(1/2)∠BAD-(1/2)∠CDA かつ、
∠BAD+∠CDA=180° なので、∠AED=90° となります。

∠BAD+∠CDA=180° は平行四辺形の内角の和が 360° で、
向かい合う角が等しいということから導けます。

.. 6/30(Fri) 21:40[14626]
++ のーと    
早速の回答ありがとうございます。
∠AED=180-1/2∠BAD-1/2∠CDA
∠BAD+∠CDA=180
∠BAD=180-∠CDA、∠CDA=180-∠BAD
よって
∠AED=180-1/2(180-CDA)-1/2(180-BAD)
∠AED=180-90+1/2CDA-90+1/2BAD
2∠AED=360-180+CDA-180+BAD
2∠AED=CDA+BAD
∠AED=1/2(BAD+CDA)…【∠BAD+∠CDA=180】
∠AED=1/2×180
∠AED=90

こんな感じでしょうか…?

.. 7/ 1(Sat) 14:06[14627]
++ かーと    
こんにちは。

そんなくどくどと書かなくていいです。

平行四辺形の向かい合う角は等しいので、
∠ABC=∠CDA, ∠DCB=∠BAD ・・・[1]

四角形の内角の和は 360° なので、
∠ABC+∠CDA+∠DCB+∠BAD=360°
2(∠CDA+∠BAD)=360° ([1] より)
∠CDA+∠BAD=180° ・・・[2]
(ここまでは ∠CDA+∠BAD=180° を導くための部分です)

∠AED=180°-1/2∠BAD-1/2∠CDA
∠AED=180°-1/2(∠BAD+∠CDA)
∠AED=180°-1/2×180° ([2] より)
∠AED=90°

.. 7/ 1(Sat) 14:20[14628]
++ のーと    
早速の回答ありがとうございます。
再度、細かく説明いただきまことにありがとうございます。

教えて頂いた、全ての等式の意味を理解する事が出来ました!
忘れない様に、見直していきたいです。

どうもありがとうございました。m(_ _)m

.. 7/ 1(Sat) 15:05[14630]
■--確率
++ さくら           

こんばんは。いつもお世話になっております。
この問題の解き方を教えてください。

Aの袋には赤玉2個、白玉1個。Bの袋には赤玉1個、白玉2個が入っています。A、Bの袋のうちいずれかの袋を選び、その袋から玉を1個取り出す。取り出した玉が赤玉であるとき、選んだ袋がAである確率を求めなさい。
答えは2/3になります。


2つの袋から1つを選んで赤玉を取り出すので、
2C1×2/3と考えて、答えを見るとこれは恐らく間違っているようなのですが、何が違うのかがわかりません。
よろしくお願いします。
.. 7/ 3(Mon) 23:53[14641]

++ かーと    
こんばんは。

>2C1×2/3と考えて、

さすがにこれはダメですよ。
確率が 1 を超えてしまってるではないですか。

せめて 1/2×2/3 として間違えるならまだいいのですが。

先に書いたように 1/2×2/3 も間違えた答えなのですが、
それはこの確率が意味するのが「A の袋を選び、
かつそこから赤球を取り出す確率」であって、
「取り出したのが赤球だったときに、選んだ袋が A の確率」
ではないからです。

A の袋を選ぶ事象を A、赤球を取り出す事象を R としたとき、
「A の袋を選び、かつそこから赤球を取り出す確率」は P(A∩R) で、
この問題で問われているのは P(A|R) (PR(A) とも書く)です。

この確率はちょっと聞いただけだと意味がとらえにくいと思います。

とりあえずある人に何度もこの問題の条件で球を取ってもらいます。
そうすると、赤球を取り出すこともあれば白球を取り出すこともあるでしょう。

そこで、その人が赤球を取り出した100回のケースだけに着目したとき、
このうち A から赤球を取ったケースはこの100回のうちどれくらいあるのか、
そうした確率のことを聞いているのがこの問題なのですね。

こうしたひねった確率を求めるには、条件付き確率の公式を使います。

P(A∩R)=P(A)*PA(R)=P(R)*PR(A) であることから、
まず P(A)*PA(R) を用いて P(A∩R) を求めておきます。

次に P(R) を求めれば、目的である PR(A) が求められます。

.. 7/ 4(Tue) 00:20[14642]
++ さくら    
こんにちは。
確率が1を超えてしまっているのに気づかないなんてまだまだ甘いなと反省しました。。
こういった問題は公式を使うのですね、よくわかりました。
ありがとうございました。

.. 7/ 4(Tue) 12:30[14643]

   


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