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■--算数・数学質問掲示板のご利用について
++ かーと           

#新着情報
なし

#掲示板のご利用について
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この掲示板ではタグを使うことができます。
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質問への回答は基本的に管理人である私が行っています。

3. マルチポストについて
マルチポスト(=複数の掲示板への同一内容の投稿)は認めています。
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このスレッドは定期的に上げておきます。
..11/26(Fri) 05:41[1]

■--(無題)
++ 浜田P (高校1年)          

1枚の硬貨を投げるゲームを行う。表が続けて2回続けて出た時点でゲームは終わるものとする。このゲームが4回以内に終わる確率を求めよ。

4回で終わる、3回で終わる、2回で終わるの3つで場合分けをするのはわかります。問題の答えは1/2になるのですが、答えにたどり着けません。
各場合の式はどうやって立式すればよいのでしょうか?
.. 6/30(Thu) 00:46[13441]

++ かーと    
こんにちは。

式を立てる前にどういう形になればいいかを考えましょう。
表を ○、裏を × で表すこととします。

・3回以上で終わるとき
最後の3回は ×○○ となる必要があります。

これを踏まえて考えると次のようになります。

・4回で終わるとき
?×○○ (? は ○ でも × でも可)

・3回で終わるとき
×○○

・2回で終わるとき
○○

これらそれぞれの確率を求めて足し合わせましょう。

.. 6/30(Thu) 11:38[13443]
■--反復試行
++ 浜田P (高校1年)          

1個のさいころを4回続けて投げるとき、目の和が22以上なる確率を求めよ。

この問題を解いて答えを見たら、不正解でした。その後も考えてもわかりません。
場合分けで間違えていると思うのですが、正しい場合分けを教えてください
.. 6/28(Tue) 06:35[13439]

++ かーと    
こんにちは。

24 → 6が4回
23 → 6が3回、5が1回
22 → 6が3回、4が1回 または 6が2回、5が2回

この全ての確率を反復試行で求めて足せばいいでしょう。

.. 6/28(Tue) 14:04[13440]
++ 浜田P (高校1年)    
ありがとうございました
解けました

.. 6/30(Thu) 00:47[13442]
■--(無題)
++ 郡           

こんばんは!答えが不安な問題があります。教えてください!
0,1,2,3,4,5の6つの数字を3つ並べて3桁の整数を作るとき、
421以下となる組み合わせは何通りあるか。
.. 6/27(Mon) 18:42[13433]

++ かーと    
こんばんは。

1**, 2**, 3** → 3×5P2通り
40*, 41* → 2×4通り
420, 421 → 2通り

これで全部でしょう。

.. 6/27(Mon) 20:03[13434]
++ 郡    
安心しました!ありがとうございました!
.. 6/28(Tue) 03:06[13438]
■--数列の連立漸化式
++ のぎ           

数列の連立漸化式です
an+1=5an-bn,bn+1=4an+bn,a1=1,b1=1の答えを教えてください。お願いします。
.. 6/27(Mon) 21:59[13435]

++ かーと    
こんばんは。

面倒な問題なので解き方だけを説明します。

次のような漸化式を2つ作ることができれば上手くいきます。
a[n+1]+αb[n+1]=β(a[n]+αb[n])

こうなれば、あとは片方を c[n+1]=a[n+1]+αb[n+1] と置き、
もう一方を d[n+1]=〜 のように置けば、両者の一般項が求まるので、
その2つの式を整理すれば a[n],b[n] の一般項も求まります。

そこで、a[n+1]+αb[n+1] をまず計算します。

a[n+1]+αb[n+1]=5a[n]-b[n]+α(4a[n]+b[n])

この右辺が β(a[n]+αb[n]) と恒等的に等しくなればいいので、
そこから α,β の値をそれぞれ2つ求めることができます。

あとは先に説明した方法の通りに解いていけばいいです。

.. 6/27(Mon) 23:35[13436]
■--連立方程式
++ デブゴン           

100分の72(x+y)=100分の80x+100分の65y
100分の80x=100分の65y+4
の答えがx=70 y=80になるはずなのですが、計算方法がわからないです。教えてください
.. 6/27(Mon) 17:17[13430]

++ かーと    
こんにちは。

(72/100)(x+y)=(80/100)x+(65/100)y ・・・[1]
(80/100)x=(65/100)y+4 ・・・[2]

[1] より、
72(x+y)=80x+65y  (両辺を100倍した)
72x+72y=80x+65y
-8x+7y=0 ・・・[1']

[2] より、
80x=65y+400  (両辺を100倍した)
16x=13y+80  (両辺を 5 でわった)
16x-13y=80 ・・・[2']

[1']×2 と [2'] を足し合わせます。
y=80

あとはこれを [1'] に代入すれば x が求まります。

.. 6/27(Mon) 17:30[13431]
++ デブゴン    
右辺を100倍するのを忘れていたのか…ありがとうございます。助かりました
.. 6/27(Mon) 17:41[13432]
■--こんばんは
++ さえか           

数3のグラフを描く問題で、y'=1−2sinx、y"=−2cosxとなったとき、これらの符号の変化を調べるのには、sin曲線やcos曲線で調べるという考えであっていますか?
.. 6/26(Sun) 19:55[13426]

++ かーと    
こんばんは。

曲線を書くよりは 1-2sinx=0 のような方程式を
単位円を使って解いたほうが楽ではないですかね。

曲線を書いてもどこで x軸と交わるかを別に計算しないといけないですし。

.. 6/26(Sun) 20:26[13427]
++ さえか    
わかりました‼
その方法で解きます‼

あと一つ質問させてもらいたいんですが、曲線y=(2−x)/(x−1)^2+x−1の漸近線は、どうやって求めるか教えてください‼

.. 6/26(Sun) 21:28[13428]
++ かーと    
こんばんは。

(2-x)/(x-1)^2 の部分は x の絶対値が大きくなると 0 に近づくので、
結局は x-1 の部分の影響だけが前面に出てくることになります。

したがって、漸近線は y=x-1 となります。

.. 6/26(Sun) 21:38[13429]
■--(無題)
++ くれあ           

3人がじゃんけんを1回するとき、次の確率を求めよ。
(T)1人だけ勝つ
(U)2人が勝つ
やり方はなんとか分かりますが、どのように説明すればよいか分かりません。教えてください。
.. 6/26(Sun) 16:48[13424]

++ かーと    
こんにちは。

まず、全ての場合の数は 3^3=27 です。

(1)
誰が勝つかで 3通り、どの手で勝つかで 3通りなので、
1人だけが勝つ場合の数は 9通りということになります。

したがって、確率は 9/27=1/3 です。

(2)
2人が勝つ=1人が負ける、なので確率は (1) と同じです。

.. 6/26(Sun) 16:52[13425]
■--(無題)
++ 郡           

3個のさいころを同時に投げる時、少なくとも1個は6の目が出る確率を求めよ。
やり方がよく分かりません!お願いします(´・ω・`)
.. 6/26(Sun) 00:21[13421]

++ かーと    
こんにちは。

1 から「6 の目が1つも出ない確率」を引けばいいです。

「6 の目が1つも出ない」=「1〜5 のみが出る」なので、
1-(5/6)^3 が最終的に求める確率となります。

.. 6/26(Sun) 11:11[13422]
++ 郡    
ありがとうございました!
.. 6/26(Sun) 14:39[13423]
■--(無題)
++ ゆーな           

こんにちは

x+y+z=10,x≧0,y≧0,z≧0を満たす整数x,y,zの組の総数をそれぞれ求めよという問題で、Σを利用した解き方が、まず考え方からわからないので、なぜΣを使うかも踏まえた上で丁寧に教えていただけますか?

よろしくお願いいたします。
.. 6/18(Sat) 14:12[13403]

++ かーと    
こんにちは。

うーん、この問題で Σ を使うことってあるのですかね。
10個の ○ と2個の仕切りを並べるので 12C2 とすぐに解けますので。

もし最初の式が x+y+z≦10 なら Σ を使うことになりますが。

その Σ を使った解答はどのようなものになっていますか。

.. 6/18(Sat) 14:22[13404]
++ ゆーな    
方針(1)において、xが最大になるのは、y,zがともに最小になる(y=z= 0となる)時です。この時、x= 10であるから、0≦x≦10となります。

⑴xのとりうる値は0,1,2…… 10のいずれかである。
x=k(k= 0,1,2…… 10)の時、条件を満たすy,zがa(k)組あるとすると、求める総数はΣa(k)←k=0,n=10である。またこの時、x+y+ Z = 10 ⇔k+y+z=10, ⇔y+z=10-k
よって、@とy≧0,z≧0を満たす整数y,zは以下の表のようになる
y|0 1 2 …………10-k
z|10-k 9-k 8-k ………… 0

よってa(k)=11-k

したがってΣa(k)←(n=10,k=0 ) =Σ(11-k)←(n=10,k=0) =11+10+9+……………+1=1/2・11・12=66

.. 6/18(Sat) 14:44[13405]
++ ゆーな    
少し見にくくなりましたが、解説をそのまま打ち込みました。


おそらく、この問題を通して、場合の数とΣの関係に触れ、次の、硬貨の問題でΣを使えるように学習するのだと思います。

.. 6/18(Sat) 14:47[13406]
++ ゆーな    
100円硬貨、500円硬貨、1,000円札の3種類の貨幣を使って1万9,200円を支払う。この3種類の貨幣をいずれも1枚以上使う場合、支払い方法の総数を求めよ。ただし、3種類の貨幣のいずれも必要な枚数だけ用意できるものとする



ちなみにこれがその次の問題です。

.. 6/18(Sat) 14:50[13407]
++ かーと    
こんにちは。

x=0 のとき、y が取れる範囲は 0〜10 の11通りです。
z は x,y の値から自動的に1つに決まるので考えなくていいです。

x=1 のとき、y が取れる範囲は 0〜9 の10通りです。
同様にいろんな x の値について考えると次のようになります。

x=0 → y は 11通り
x=1 → y は 10通り
x=2 → y は 9通り
x=3 → y は 8通り
 :
 :

ここから、x=k のとき、y は 11-k 通り取れるとわかります。

x は 0〜10 の値を取るので、取ることができる全ての値の数は、
11+10+9+8+7+・・・+1
= Σ[k:0~10](11-k)
= 66
となります。

模範解答は無駄に文字を使いすぎて説明がわかりにくくなってるので、
この説明を見て考えたほうがおそらくはわかりやすいと思います。

.. 6/18(Sat) 16:00[13408]
++ ゆーな    
遅くなりましたm(._.)m

ありがとうございました!

.. 6/24(Fri) 07:19[13420]
■--ベクトル
++ 鴎           

一辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺OAを2:1に内分する点をP、辺OCを1:2に内分する点をQ、辺ABの中点をMとする。
このとき、
(a)MPの長さ、MQの長さはいくらか
(b)三角形MPQの面積はいくらか
(c)辺BC上の点Rが、3点MPQで定まる平面上にあるとき、BRの長さはいくらか
.. 6/21(Tue) 21:45[13414]

++ かーと    
こんばんは。

(a)
それぞれのベクトルを ↑OA, ↑OB, ↑OC のみで表し、
自分自身との内積を取ればどちらも求めることができます。

(b)
↑MP, ↑MQ はすでに ↑OA, ↑OB, ↑OC のみで表せているので、
↑MP・↑MQ の大きさがいくらになるのかを求めることができます。

また、↑MP・↑MQ=|↑MP||↑MQ|cos∠PMQ であることから、
cos∠PMQ の値もここから求めることができます。

あとはこれらの値を使えば面積も求めることができます。

(c)
↑PR は線分MQ と交わるので、その交点を S としておきます。

すると、↑PR は次の2通りの方法で表すことができます。
↑PR
= k↑PS
= k{s↑PM+(1-s)↑PQ} ・・・[1]

↑PR
= ↑PA+↑AB+t↑BC ・・・[2]

あとは [1],[2] をそれぞれ ↑OA, ↑OB, ↑OC のみで表し、
係数を比較すれば t がいくらであるかも求まるはずです。

.. 6/21(Tue) 22:24[13415]
++ 鴎    
(C)で[1][2]を↑OAと↑OBで表すところまではできましたが、その先が分かりません。もう少し先まで教えてください…。お願いします。
.. 6/23(Thu) 16:58[13418]
++ かーと    
こんばんは。

あとはもう簡単ですよ。
ただの係数比較ですから。

たとえば次の2つの形で表すことができたとします。

↑PR=a↑OA+b↑OB+c↑OC
↑PR=d↑OA+e↑OB+f↑OC

この2つは同じベクトルなので、次の3つの等式が作れます。
 a=d, b=e, c=f

あとはこの3つの式を連立方程式として解くだけです。

.. 6/23(Thu) 21:56[13419]
■--(無題)
++ すず (小学4年)          

○✖43➕○✖2✖14➖○=840
○は同じ数答えは12です。解き方教えて下さい
.. 6/23(Thu) 11:21[13416]

++ かーと    
こんにちは。

○×△+○×□
= ○×(△+□)
という式は知っていますかね。

これを使えばずいぶんと楽に解くことができます。
最後の ○ は ○×1 のように考えるとこの方法が使えます。

○×43 + ○×2×14 - ○ = 840
○×43 + ○×28 - ○×1 = 840
○×(43+28-1)=840
○×70=840
○=840÷70
○=12

.. 6/23(Thu) 12:06[13417]
■--数学(数2)いそいでます。
++ やまもとみずの (高校1年)          

平面上3点にA(2,3)B(1、2)C(3、1)をとる。このとき、三角形ABCの内心を求めよ
.. 6/20(Mon) 20:36[13412]

++ かーと    
こんばんは。

解き方はいろいろと考えることができますが、
自分ならまず内接円の半径 r を求めたうえで、
AB に平行で AB から r だけ離れた直線 l1 と、
AC に平行で AC から r だけ離れた直線 l2 を求め、
両者の交点を求めるという方法で進めると思います。

.. 6/20(Mon) 22:15[13413]
■--中学受験算数
++ ゆうや           

ある小数の小数点を取って出来た整数から、もとの小数をひくと137.61になります。ある小数は⬜です。

解説を見ると137.61÷(100-1)=1.39
答え1.39 となるようですが、何故、この式になるかがさっぱり解りません。宜しくお願い致します。
.. 6/19(Sun) 08:37[13409]

++ かーと    
こんばんは。

整数から小数を引いた結果として 137.61 となったのだから、
その引いた小数は ○.39 という形だったとわかります。

これを整数にするには100倍して小数点を2つ動かせばいいです。

ということは、もとの小数を □ とすると、
これの小数点を取って整数にしたものは 100×□ なので、
100×□-□=137.61 → 99×□=137.61 → □=137.61÷99
となります。

.. 6/19(Sun) 10:21[13410]
++ ゆうや    
いつも有難うございます。とても良く解りました。
.. 6/20(Mon) 12:21[13411]
■--(無題)
++ たっくん           

f(x)=| x^3-3a^2x |のグラフを書くのが少し難しいのですが、普通にx^3-3a^2xのグラフを書き、x軸よりも下の曲線をx軸対象に書く、という考え方でいいですか?
場合分けが少しややこしいのですが、、
.. 6/16(Thu) 23:49[13401]

++ かーと    
こんばんは。

はい、それでいいでしょう。

この問題は場合分けが面倒そうに見えますが、実は簡単です。

というのも、a=0 のとき以外は必ず x>0 の範囲に
y<0 となる極小値を持つので場合分けが不要になります。

.. 6/16(Thu) 23:55[13402]
■--平均について
++ ばかこもり白虎 (中学1年)          

問題集の問題でこういう問題が苦手なので質問させていただきます。問題はABCの3人でゲームをした。3人の合計点数は0点である。AとBの平均が-3点のとき、Cの得点を求めなさい
。というものです。解説にはAとBの和は(-3)×2=-6 答6点とありました。どうして2人の平均×人数すると答が出るのですか?それから何故式ではは-6なのに答では6点になるのですか?教えてください!
.. 6/16(Thu) 20:56[13399]

++ かーと    
こんばんは。

そもそも平均とは何であったかを思い出しましょう。

「5人がみかんをそれぞれ持っていて、その合計は40個です。
 1人平均何個持っているでしょう。」

この問題は「40個のみかんを5人に同じ数ずつ分けたときに、
1人いくらになるでしょう。」というのと同じです。

すなわち、平均は全体を全員に均等に分けたときの個数なわけです。

この問題では平均は8個になりますが、全員が8個持っているのなら、
合計の個数は平均である8個に人数をかけた 8×5=40 となります。

すなわち、平均に人数をかけると合計が出てくるわけです。

この考えを質問の問題に使うと、A と B の合計は -6 点となります。

この -6 点に C の得点を合わせると 0 点になるのですから、
C は逆に +6 点でないといけないということがわかります。

.. 6/16(Thu) 23:30[13400]
■--2次関数
++ 浜田P (高校1年)          

放物線y=x^2-3x+2を平行移動した放物線が(1,1)(2,3)を通るためにはどのように平行移動すればいいか。

どうやって解けばいいのでしょうか。
解説お願いします。
.. 6/15(Wed) 23:22[13395]

++ かーと    
こんにちは。

平行移動してもグラフの形そのものは変わらないので、
その放物線は y=x^2+ax+b と書くことができます。

(1,1) と (2,3) を通ることを使うと a,b が求まるので、
あとはその関数と元の関数の頂点の座標を比較すればいいです。

.. 6/16(Thu) 09:27[13397]
++ 浜田P (高校1年)    
ありがとうございました
よくわかりました

.. 6/16(Thu) 12:57[13398]
■--(無題)
++ るい           

確率の問題が分かりません!教えてください!
(1)A、B、Cの3人がじゃんけんを1回する時、次の確率を求めよ
(@)Aだけが勝つ確率
(A)あいこになる確率

(2)2個のさいころを同時に投げるとき、出る目の積が偶数になる確率

(3)A、B、C、D、Eの5文字を横一列に並べる時、次の場合の確率を求めよ
(@)AとBが隣り合う
(A)BとCが隣り合わない
(B)CがDより左にある
.. 6/14(Tue) 20:32[13393]

++ かーと    
こんにちは。

(1)
(i)
全部の場合の数は 3^3=27 通りです。

A だけが勝つ場合、A の取れる手は 3種類 です。
したがって、3/27=1/9 となります。

(ii)
次の6つの確率はどれも同じ 1/9 です。

・A だけが勝つ確率
・B だけが勝つ確率
・C だけが勝つ確率
・A だけが負ける確率
・B だけが負ける確率
・C だけが負ける確率

このどれでもなければあいこになるので 1-6/9=1/3 です。

(2)
積が奇数になるのは 奇数×奇数 のときなので、
3/6×3/6=1/4 となります。

積が奇数でなければいいので 1-1/4=3/4 です。

(3)
全ての場合の数は 5! です。

(i)
まず AB をくっつけて AB,C,D,E の4文字で考えると 4! です。
さらに AB は BA にも入れ替えられるので、2×4! 通りです。

したがって、2×4!/5! がその確率となります。

(ii)
B と C が隣り合う確率は (i) と同じです。
したがって、1 から (i) の確率を引けばいいです。

(iii)
C と D をそれぞれ X に置き換えます。

次に、その2つの X が入る場所を 5つの枠から選ぶと 5C2 です。
残りの 3つの文字は普通に並べればいいので 3! です。

C,D は2つの X のうちの左が C、右が D になるので 1通りです。

したがって、確率は (5C2×3!×1)/5! となります。

.. 6/15(Wed) 08:34[13394]
++ るい    
長々とありがとうございます!たすかりました!
.. 6/16(Thu) 01:06[13396]
■--(無題)
++ ノリタケ (高校1年)          

関数y=√(x^2−2x+2)+√(x^2−6x+13)
のグラフの最小値とそのときのxの値を求めよ
という問題がわかりません。
教えてください。
.. 6/14(Tue) 08:08[13391]

++ かーと    
こんにちは。

y = √(x^2-2x+2)+√(x^2-6x+13)
= √{(x-1)^2+1} + √{(x-3)^2+4}
= √{(x-1)^2+1^2} + √{(x-3)^2+2^2}

左側は2点 (x,0) と (1,1) との距離を表し、
右側は2点 (x,0) と (3,2) との距離を表します。

すなわち、この問題は式で考えるのではなく、
「(1,1) と (3,2) からの距離の和が最小となる、
 x軸上の点を求めよ。」
という図形の問題として解いていけばいいです。

あとは一方の点の x軸に対称な点を取ったうえで、
もう一つの点と結んで x軸との交点を見ればいいです。

.. 6/14(Tue) 11:02[13392]
■--(無題)
++ 淳           

だんだん混乱してきたんですが、無限等比級数が収束するとは、等比数列ををずっと足していったとき、その和がだんだんなにかの値に近づいていくということですよね?
例えば、等比数列の公比rが1/2であるときとすると、定義上では-1<r<1であるから収束するはずですが、実際計算してみると、
1/2+1/4+1/8+………としたら、この和はなんの値にも収束しないんじゃないでしょうか?
.. 6/12(Sun) 11:31[13384]

++ かーと    
こんにちは。

無限に数を足せば無限に大きくなるのではないか、
といった素朴な感覚からは脱しないと理解できませんよ。

手元の紙に1辺の長さが 1 の正方形を描いてください。

次にその正方形を半分に分ける縦の線を引いた上で、
左側の長方形に斜線などを何本か引いてください。

今、斜線を引いた部分の面積は当然ながら 1/2 です。

次に右側の長方形をまた半分に分けたうえで、
そのうちの半分に斜線などを何本か引いてください。

今回、斜線を引いた部分の面積は 1/4 です。

同様の作業をくり返すと 1/2+1/4+1/8+・・・ となりますが、
この面積の和は当然 1 を超えず、だんだんと 1 に近づきます。

.. 6/12(Sun) 11:56[13385]
++ 淳    
でもそれは、和が1になるという前提のもと考えてますよね?
無限級数の問題も、収束するという前提で考えるということでしょうか?

.. 6/12(Sun) 12:11[13386]
++ かーと    
こんにちは。

>でもそれは、和が1になるという前提のもと考えてますよね?

いえ、あなたがそう思い込んでいるというだけです。
変な前提を置いて考えているのは、私ではなくあなたです。

御託を並べる前に、自分で 1/2+1/4+1/8+・・・ を計算すればいいのです。
やればやるほど、嫌でも 1 に収束するということが理解できますから。

収束するものは収束するし、発散するものは発散します。
頭の中にどのような前提を置いているかなど関係ありません。

.. 6/12(Sun) 12:16[13388]
++ 淳    
かーとさんのおっしゃる通りでした。
1/2+1/4+1/8…が勝手に発散していくと思い込んでいましたが、実際ずっと計算していくと1に収束していくことがわかりました。
ちゃんと吟味もせず質問ばかりしてしまいすいませんでしたm(__)m

.. 6/12(Sun) 13:20[13390]

   


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