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++ かーと           

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なし

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このスレッドは定期的に上げておきます。
..11/26(Fri) 05:41[1]

■--定積分
++ ゆん (高校3年/大学受験生)          

∫[0→π/2]dx/(1+cosx)

ただし、「tan(x/2)=t」

という問題なのですが、どこからtanが出てくるのかわかりません。
.. 9/28(Wed) 21:29[13763]

++ かーと    
こんばんは。

どこからというより、三角関数を含む関数の積分をする際の
定番の置換が t=tan(x/2) だとおぼえておけばいいです。

.. 9/29(Thu) 00:44[13764]
■--(無題)
++ みつえ (高校3年/大学受験生)          

実数θ(0<θ<π)が
等式 sinθ+ cosθ / sinθ- cosθ=3+2√2を満たすとき、
x>0の範囲で関数F(x)=Log₂ X/2sinθ
F(x)={Log₂ X/2sinθ}{Log₄ X/4sinθ}が
最小となるxの値と、そのときの最小値を求めよ。

sinθ+ cosθ もsinθ- cosθも三角合成を使うのかなって思うのですが、うまくできません。
よろしくお願いします。
.. 9/25(Sun) 20:40[13755]

++ かーと    
こんばんは。

F(x) が2種類あったり、問題の趣旨があまり見えないですが、
sinθ が求まれば何とかなるということなのですかね。

(sinθ+cosθ)/(sinθ-cosθ)=3+2√2
{√2sin(θ + π/4)}/{√2sin(θ - π/4)}=3+2√2
cost/sint=3+2√2  (t=θ - π/4 とおく)
1/tant=3+2√2
tant=1/(3+2√2)
tant=3-2√2

ここから sint,cost を求め、sinθ=sin(t + π/4) として
加法定理を使えば、sinθ の値も求まるのではないですかね。

.. 9/25(Sun) 20:57[13756]
++ みつえ (高校3年/大学受験生)    
tanθ=√2より  sinθ=√2/√3

F(x)={Log₂√3x/2√2}{1/2Log√3x/4√2}
    =1/2{Log₂√3x-3/2}{Log√3x-5/2}
   Log₂√3x=tとすると
    =1/2(t-2)²-1/8

よって、x=4√3/3 のとき、最小値-1/8

 これで合ってますか?

.. 9/25(Sun) 22:37[13758]
++ かーと    
こんにちは。

ちょっと F(x) の式の意味が読み取りにくいので、
最終的な答えが合っているかどうかはわかりませんが、
sinθ=√2/√3 は正しいので、おそらく大丈夫だと思います。

.. 9/26(Mon) 16:02[13761]
++ あず (高校3年/大学受験生)    
ありがとうございました。
.. 9/26(Mon) 22:23[13762]
■--(無題)
++ あず (高校3年/大学受験生)          

2つの等差数列{An}と{Bn}において、
An+2Bn=8n-1  AnBn=15/2n²-7/2n-1
が成り立っている。この時 A₁=1ならばB₁=□であり
等差数列{An}と{Bn}の一般項はAn=
Bn=    である。

An+2Bn=8n-1より
A₁+2B₁=7   B₁=3
{An}は 初項1 公差dとすると dn+1-d
{Bn}は 初項3 公差rとすると rn+3-r

AnBn=drn²+(3d-2dr+r)n+dr-r+3-3d

dr=15/2  3d-2dr+r=-7/2
dr-r+3-3d=-1

上の3式に合う答えが出ません。
よろしくお願いします。
.. 9/25(Sun) 23:50[13759]

++ かーと    
こんばんは。

dr=15/2 ・・・[1]
3d-2dr+r=-7/2 ・・・[2]
dr-r+3-3d=-1 ・・・[3]

[1] を [2] と [3] に代入すると、
その2式は結局等価な式になります。

したがって、[1] と [2] だけを連立して解けばいいです。

.. 9/26(Mon) 00:05[13760]
■--ガウス記号
++ あ           

実数xに対し、xを超えない最大の整数を[x]とかく。xy平面において、3つの不等式 0<x<√2 , 0<y<1 , [x^2]+[y^2]=[x^2+y^2] の表す領域とその境界を合わせた図形の面積を求めよ。
図をつけてくれるとありがたいです。
.. 9/25(Sun) 21:39[13757]

■--確率統計
++ Alisa           

下記の問題を教えてください。

m≦nとする。
f:{1,2,…n}→{1,2,…,m}で#f^-1(1)=n_1,#f^-1(2)=n_2,…,#f^-1(m)=n_m (n_1+n_2+…+n_m=n)となるような全射fは何通りあるか。
#f^-1(1)=n_1は1の逆像の要素の個数を表してます。

多分,n_1!n_2!…n_m!通りかと思うのですがどうやって解答すればいいのか分かりません。
.. 9/23(Fri) 06:50[13753]

++ かーと    
こんにちは。

うーん、ちょっとこの掲示板で対応できる問題ではなさそうです。

.. 9/25(Sun) 13:12[13754]
■--(無題)
++ 郡           

3つの袋A.B.Cがあり、Aには赤玉1個、白玉2個、Bには赤玉2個、白玉3個、Cには赤玉3個、白玉5個が入っている。3つの袋から玉を2個ずつ取り出すとき、次の確率を求めよ。
(T)赤玉は1個だけである

(U)少なくとも赤玉が2個ある
.. 9/22(Thu) 14:40[13750]

++ 郡    
解き方が分かりません!教えてください!
.. 9/22(Thu) 14:50[13751]
++ かーと    
こんばんは。

(1)
A に赤玉が入るときの場合の数
2C1×3C2×5C2

B に赤玉が入るときの場合の数
2C2×(2C1×3C1)×5C2

C に赤玉が入るときの場合の数
2C2×3C2×(3C1×5C1)

この和を全ての場合の数である
3C2×5C2×8C2 で割ればいいです。

(2)
1 から赤玉1個の確率と赤玉0個の確率を引けばいいです。

赤玉の0個の確率は簡単に求められます。
(2C2×3C2×5C2)/(3C2×5C2×8C2)

.. 9/22(Thu) 23:21[13752]
■--この問題の解き方を教えてください。
++ 高橋那緒 (中学1年)          

工作の材料費を集めるのに、クラス全員から1人180円ずつ集めると800円足りず、1人210円ずつ集めると250円余るという。このクラスの人数と工作の材料費を求めなさい。

という問題がわかりません。
解き方を教えて欲しいです。
.. 9/21(Wed) 16:49[13748]

++ かーと    
こんばんは。

クラスの人数を x 人としておきます。

>クラス全員から1人180円ずつ集めると800円足りず

これは「クラス全員から180円ずつ集めて、
さらに800円足すと工作の材料費になる」と言ってるのと同じです。

なので、工作の材料費は 180x+800 となります。

>1人210円ずつ集めると250円余る

これは「クラス全員から210円ずつ集めたものから、
250円を引くと工作の材料費になる」と言ってるのと同じです。

なので、工作の材料費は 210x-250 となります。

180x+800 も 210x-250 も工作の材料費を表しているので、
180x+800=210x-250 を解けばクラスの人数がわかりますね。

.. 9/21(Wed) 23:16[13749]
■--数列
++ たま (高校3年/大学受験生)          

数列{a[n]}の初項から第n項までの和S[n]が次の条件を満たす
S[1]=1,S[n+1]−3S[n]=n+1(n≧1)
(1)S[n]を求めよ
(2)a[n]を求めよ
よろしくお願いします。
.. 9/20(Tue) 22:43[13746]

++ かーと    
こんばんは。

S[n+1]-3S[n]=n+1 ・・・[1]
S[n]-3S[n-1]=n ・・・[2]

[1]-[2]
S[n+1]-S[n]-3(S[n]-S[n-1])=1
a[n+1]-3a[n]=1

ここから a[n] の一般項が求められます。
あとはそれを利用して S[n] を求めればいいでしょう。

.. 9/20(Tue) 22:54[13747]
■--整数の累乗の余り
++ 浜田p           

100^100 を7で割ったときの余りを求めよ
解説には
100^nを7で割ったときの余りをrとすると、
100^n=7k+r(kは整数)と表される。この時、
100^(n+1)=100^n *100=(7k+r)*100=
7(100k+14r)+2r
↑ここまでは分かります


よって、100^(n+1)を7で割ったときの余りは、2rで割った時のあまりと等しい。
↑ここについてよく分かりません

解説お願いします。





.. 9/20(Tue) 18:01[13742]

++ 浜田p (高校1年)    
追伸
数Aです

.. 9/20(Tue) 18:03[13743]
++ かーと    
こんばんは。

>100^(n+1)を7で割ったときの余りは、2rで割った時のあまりと等しい。

「2r を 7 で割ったときの余りに等しい」ではないですかね。

2r を 7 で割ったときの商を s、余りを t とします。
すると 2r=7s+t と表すことができます。

7(100k+14r)+2r
= 7(100k+14r)+7s+t
= 7(100k+14r+s)+t

したがって、100^(n+1) を 7 で割ったときの余りも t です。

.. 9/20(Tue) 21:10[13745]
■--順像法と逆像法
++ ドデカミン (高校3年/大学受験生)          

順像法はファクシミリの原理であり一文字固定法
逆像法は判別式を用いた解法
という認識で数学的に正しいのでしょうか?
教科書に用語の定義がないので、混乱しています
.. 9/18(Sun) 14:10[13741]

++ かーと    
こんばんは。

>順像法はファクシミリの原理であり一文字固定法

それはまぁそうですが、そういうことよりも基本である
「x を動かして y がどの範囲を取るかを考える」のか、
「y がその値を取るなら、それに対応する x がある」
として y を考えるのか、という視点を持つことが重要です。

もちろん前者が順像法で、後者が逆像法です。

>逆像法は判別式を用いた解法

これは単に逆像法を使って解いた際に判別式を用いることになる
ケースが多いというだけで、本質的な話ではないですね。

.. 9/20(Tue) 21:08[13744]
■--(無題)
++ 数学           

y'=2(cosx−1)(2cosx+1)の符号変化はcosx−1と2cosx+1について、2つの単位円を書いてそれぞれ符号を調べ、その符号の組合せでy'の符号変化を調べたらよいですか?
.. 9/18(Sun) 09:50[13738]

++ かーと    
こんにちは。

それでいいですが、増減表を次のようにするのも一つのコツです。

x   |
────┼─────────
cosx-1 |
2cosx+1 |
y'   |
y   |

.. 9/18(Sun) 10:10[13740]
■--(無題)
++ 数学           

グラフのことについて聞きたいんですがf(x)とg(x)のグラフがあるとすると、2つのグラフがx軸に関して対象、かつ、y軸に関して対象ならば2つのグラフは原点対象と言えるが、その逆は言えないですか?
つまり2つのグラフが原点対象ならばその2つのグラフはx軸に関して対象かつy軸に関して対象と言えないですか?
.. 9/18(Sun) 09:39[13737]

++ かーと    
こんにちは。

それは言えないですね。

y=x^2 と y=-x^2 は原点対象ですが、y軸対象ではありません。

.. 9/18(Sun) 10:07[13739]
■--(無題)
++ フォーム           

a=2b^2-1
b=2c^2-1
c=2c^2-1
を満たすa,b,cは
|a|≦1,|b|≦1,|c|≦1を満たすことを示せ
.. 9/15(Thu) 20:06[13732]

++ かーと    
こんばんは。

式の対称性から a のみについて考えれば十分です。

a のみの式にして因数分解すると、
(a-1)(16a^3+16a^2-1)=0
となるので、f(a)=16a^3+16a^2-1 とすると、
f(-1)<0
f(-1/2)>0
f(0)<0
f(1)>0 より、
-1<a<1 の範囲に f(a)=0 は3つの解を持つことがわかります。

.. 9/15(Thu) 23:42[13733]
++ フォーム    
訂正して頂けてるようですが
最後の式はc=2a^2-1です

この元でaで式を整理すると
aの8次方程式になるのですが
どうやったら解説中の式を
得られますか?

.. 9/16(Fri) 20:45[13734]
++ かーと    
こんばんは。

あら、完全に計算間違いをしていましたね。

方針を大きく変えて対偶証明法で考えてみます。

この3つの式は f(x)=2x^2-1 という変換を
3回ほどこすともとの数に戻ることを意味しています。

そこで、a,b,c の中に少なくとも1つ
絶対値が 1 より大きい数があるとし、
その数のことを x と書くことにします。

x>1 のとき f(x)=2x^2-1 とすると f(x)>x となります。

すなわち、この変換をほどこすたびに数が大きくなるので、
この変換を3回行って x に戻るということはありえません。

x<-1 のとき f(x)=2x^2-1 とすると、
f(x) は 1 より大きい正の数となります。

そして2回目以降は、より絶対値の大きい正の数となります。
したがって、この変換を3回行って x に戻ることはありません。

したがって、a,b,c の中に絶対値が 1 より大きいものは存在せず、
a,b,c の絶対値は全て 1 以下であるということができます。

.. 9/16(Fri) 21:13[13735]
++ フォーム    
分かりました
ありがとうございました

.. 9/17(Sat) 14:39[13736]
■--絶対値のついた定積分
++ 卯           

こんにちわ。
∫[x:0〜1] | x^2-a^2 | dx (0<a≦1)となっています。
答えにはまず絶対値を外すと書いており、
| x^2-a^2 |=x^2-a^2(a≦x≦1)、−(x^2-a^2)(0≦x≦a)となるのですが、このそれぞれのa≦x≦1、0≦x≦aになる理由がよくわかりません。
よろしくお願いします。
.. 9/14(Wed) 17:25[13727]

++ かーと    
こんばんは。

x^2-a^2≧0 のときに |x^2-a^2|=x^2-a^2 となり、
x^2-a^2<0 のときに |x^2-a^2|=-(x^2-a^2) となるのはいいと思います。

x^2-a^2≧0
(x-a)(x+a)≧0
x≦-a, a≦x

ただし、a は正で x の範囲は 0〜1 なので x≦-a の範囲はありえません。
したがって、a≦x では |x^2-a^2|=x^2-a^2 となります。

ただし、x は最大でも 1 なので、範囲は a≦x≦1 となります。

x^2-a^2<0
-a<x<a

ただし、x の範囲は 0〜1 なので、これは 0<x<a になります。

したがって、0〜a → -(x^2-a^2)、a〜1 → x^2-a^2 となります。

.. 9/14(Wed) 23:44[13731]
■--(無題)
++ 郡           

教えてください!躓いています…

(1)x軸と点(-2,0),(3,0)で交わり、y軸と点(0,-6)で交わる。

(2)X=1のとき、最大値5をとり、X=−1のとき、Y=1となる二次関数。
.. 9/14(Wed) 23:21[13729]

++ かーと    
こんばんは。

(1)
(-2,0) と (3,0) で交わる ⇔ y=0 としたとき x=-2,3 が解となる

なので、y=a(x+2)(x-3) と書けます。
あとは (0,-6) を通るように a を決めればいいです。

(2)
y=-a(x-1)^2+5 と書けます。(a>0)
あとは (-1,1) を通るように a を決めればいいです。

.. 9/14(Wed) 23:28[13730]
■--(無題)
++ うや           

おはようございます

問題の途中で
8a=20bってのが出てきたんですが
8a/8=20b/8
a=20b/8かなと思ったんだけど
本には
20
a=――
8b
って書いてあったんです・・・
私は算数をどこで間違えて覚えたんでしょうか・・・
.. 9/14(Wed) 06:52[13725]

++ かーと    
こんにちは。

8a=20b でしたら、a=20b/8 が正しいですよ。

  20
a=---b
  8

という書き方も可能ですが。

.. 9/14(Wed) 09:11[13726]
++ うや    
ですよね・・・じゃあ誤植ですね
ありがとうございます
夜もんもんとして眠れなかったので今日はぐっすり眠れます!

.. 9/14(Wed) 18:33[13728]
■--(無題)
++ ゆーな           

こんばんは
Σ{k=n〜2n}{a^k}の和を求めよという問題ですが回答にa=1のとき、n+1と書いてあるのですが、この求め方を教えていただきたいです😊
等比数列の和はr=1ときnaとなるのは知っていますがn+1が出せません😔
.. 9/13(Tue) 21:48[13722]

++ ゆーな    
あと一つ分からないのがありました😢
Σ{k=1〜n}k(k+1)(k+2)
=1/4Σ{k=1〜n}{k(k+1)(k+2)(k+3)−(k−1)k(k+1)(k+2)}

この変形どーなっているんですか?教えてください😥

.. 9/13(Tue) 21:57[13723]
++ かーと    
こんばんは。

a^n + a^(n+1) + ・・・ + a^2n

この項の数が n+1個 であることに着目しておけば、
a=1 としたときに 1+1+・・・+1 というふうに、
1 の n+1個 の和となるので n+1 だとわかります。

-------------

k(k+1)(k+2)

この式を「4つの連続した数の積の差の形にしたい」
という目的が最初にあります。

k(k+1)(k+2) の3つは動かしようがないので、
4つの連続した数の積にするには k+2 よりも 1つ大きい k+3 と、
k よりも 1つ小さい k-1 をそれぞれかけ合わせることで作る、
k(k+1)(k+2)(k+3) と (k-1)k(k+1)(k+2) の差の形に持ち込むことになります。

この両者の差を実際に取ってみると、
k(k+1)(k+2)(k+3) - (k-1)k(k+1)(k+2)
= k(k+1)(k+2){(k+3)-(k-1)}
= 4k(k+1)(k+2)
と、もとの式に 4 がかかる形になりました。

この 4 をキャンセルするためには 1/4 をかければいいので、
k(k+1)(k+2) = (1/4){k(k+1)(k+2)(k+3) - (k-1)k(k+1)(k+2)}
と変形することができることがわかりました。

.. 9/13(Tue) 22:51[13724]
■--関数の微分
++ そら           

次の関数を微分せよ。

1, y=x^3+2x^2−3x

2, y=−2x^3−x^2+6x−2

3, y=4/3x^3 + 3/4x^2 −1/2x

4. y=−1/3x^3 − 3/2x − 1/2

よろしくお願いします。

.. 9/13(Tue) 19:54[13719]

++ かーと    
こんばんは。

(x^n)'=nx^(n-1) の公式さえ知っていれば、
どこも迷うことはない問題だと思いますが・・・。

3. だけ解きます。

y' = (4/3)(x^3)' + (3/4)(x^2)' − (1/2)(x)'
= 4x^2 + (3/2)x - 1/2

.. 9/13(Tue) 20:28[13720]
++ そら    
ありがとうございます!
.. 9/13(Tue) 21:03[13721]
■--(無題)
++ 417 (高校3年/大学受験生)          

わかりました!
ありがとうございました。
.. 9/13(Tue) 17:37[13718]


   


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