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■--凹凸多角形
++ マリア           

かーとさん
いつも有難うございます。

凹の形や、凸の形のように、
内側に凹みがある図形でも、
凹んでいる点も角数に入れて8角形と
呼んで良いのですか?

そして、同じ点から対角線は引けないけど、
三角形6コ分で内角の和は1080度で良いですか?
.. 2/21(Tue) 19:30[14166]

++ かーと    
こんばんは。

>凹んでいる点も角数に入れて8角形と呼んで良いのですか?

はい、もちろん呼んでいいです。

普段数学などで扱うへこんでいる角がない多角形を「凸多角形」、
へこんでいる角を含む多角形のことを「凹多角形」と呼びます。

>三角形6コ分で内角の和は1080度で良いですか?

はい。
凹多角形であっても内角の和については変わりません。

これはn角形の内部に都合のいい点を1つ取って、
その点と n 個の頂点全てを結んで n 個の三角形に分けたうえで、
内角の和を求めると 凸多角形と同じようになることがわかります。

.. 2/21(Tue) 22:58[14168]
++ マリア    
かーとさん
有難うございます。

n角形をn個の三角形に分けた場合は、最後に360度
引くんですよね(^^;


.. 2/22(Wed) 00:27[14169]
++ かーと    
こんばんは。

>n角形をn個の三角形に分けた場合は、最後に360度
引くんですよね(^^;

はい、そうですね。

.. 2/22(Wed) 00:37[14170]
++ マリア    
かーとさん
こんばんは

有難うございました。

最近は、頭が老化して困ります。
時々、ボケ防止で算数をやってみたりしています。

.. 2/22(Wed) 00:45[14171]
■--算数・数学質問掲示板のご利用について
++ かーと           

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このスレッドは定期的に上げておきます。
..11/26(Fri) 05:41[1]

■--除法
++ 緑茶 (高校3年/大学受験生)          

xの整式 f(x)を x-1 で割ると1余り、x^2-5x+6で割ると2x+3余る。
このとき、f(x)を(x-1)(x^2-5x+6)で割った時の余り@を求めよ。

という問題なのですが、

f(x)=(x-1)(x^2-5x+6)g(x)+a(x^2-5x+6)+2x+3 A

と表していい理由を教えてください。
なお、@についてax^2+bx+cと置いてから、
実はAのように変形できると説明されています。

よろしくお願いします。
.. 2/21(Tue) 15:46[14165]

++ かーと    
こんばんは。

この話は普通の数で考えてみればすぐに理解できます。

たとえば 21 で割ったときに余りが 15 になる数があるとします。
この数を 7 で割ったときの余りを求めることを考えます。

答えを先に言うなら、これは 15 を 7 で割った余りの 1 になります。

なぜかというと、この数を 21a+15 と表したとき、
7(3a+2)+1 というふうに変形することができるからです。

21a の部分ははじめから 7 の倍数なので、7 で割った余りには影響せず、
21 で割ったときの余りだった 15 を 7 で割った余りの 1 が、
そのまま全体としての余りとして出てくることになります。

これは 21 が 7 の倍数だからこそ言えることです。
もし 20a+15 とかだったら、このようにはいきません。

質問の問題はこれとはちょっと逆になってる部分もありますが、
P=x-1, Q=x^2-5x+6 とすると、f(x) を Q で割った余りは、
f(x) を PQ で割った余り R を、さらに Q で割った余りと同じです。

これはすなわち R=aQ+(2x+3) と表すことができるということであり、
f(x)=PQg(x)+R=PQg(x)+aQ+(2x+3) と表せるということでもあります。

このように整式の除法などに関する話は、
まずは普通の数の除法として考えると理解しやすくなります。

そもそもどちらも除法なのですから、根幹の部分は同じですからね。

.. 2/21(Tue) 22:56[14167]
■--数学の分類
++ マリア           

かーとさん

私は、遠い遠い、とっても遠い昔に数学を習った
者です。

私達の時代は、
数T 数UB 数V でした。
数UA の存在も知っていました。

今の時代の数学の分類が、私達の時とは異なっている
気がします。

例えば、数A って何を習うのか分かりません。
(私達の時代には、無かったと思います)

それから、
ただ忘れているだけと思われるかもしれませんが、
チェバの定理
メネラウス定理
ユークリッドの互除法
1次不定方程式
など、全く習った記憶が無いんです。

1次不定方程式?
なんだコレ? 式が、2つないとxとyが求まらない
じゃないか。
とか
チェバの定理・メネラウスの定理って
きっと、大学の数学科に進んだ人が知っているものだと
勝手に解釈していました。

でも、これら全てが高校で習う分野だと知って、
頭の中が混乱しました。

これらの定理は高校の、どの時点で教わる
ものなのでしょうか?

現代の数学の分類について
教えてください。

.. 2/19(Sun) 17:46[14161]

++ かーと    
こんばんは。

数学I・II・III では基本的に代数(方程式など)・関数を扱います。

簡単に言うなら x と y などをゴチャゴチャと使ったものです。
因数分解、方程式、関数、微分、積分などがI・II・IIIですね。

A・B・C はそれ以外のもの、図形、確率、ベクトル、数列、
こういったタイプの分野をまとめたものとなっています。

もちろん A・B・C の順で1年、2年、3年となっています。
ただし、III と C に関しては理系の人しか習いませんが。

チェバとメネラウスは完全に図形(数学A)の分野の定理になりますが、
これは以前の内容でも扱っていた可能性もあると思います。

ただ、学習指導要領の関係で外れていたかもしれませんし、
おそらく便利な定理として学校で習ってはいなくても
おぼえている人は多かった定理だったと思うので、
指導内容の中に取り込まれたのではないかなと思います。

>ユークリッドの互除法
>1次不定方程式

この2つは実際に習わなかったと思います。

というのも、「整数」という分野が数学Aで扱われるようになったのは、
ほんの数年前で、それ以前は高校ではあまり扱ってなかったですからね。

ただし、入試では一部の学校で出題されていたように思いますが。

たとえば同じ方程式でも、あくまで整数の解のみを扱うので、
解法は従来の方程式とは全く違ったものになりますね。

また、「整数」が数学Aに入るようになったことで、
いかにも A らしい内容の 集合・条件 が
数学A から数学I のほうに移るという変化も起きています。
(内容としては A向けですが、時間配分上仕方ないのでしょう)

.. 2/19(Sun) 23:36[14163]
++ マリア    
かーとさん
有難うございます。

そうだったのですか。
名前を聞いても全く記憶が無いなんて、焦りと、
ついに認知症が始まったか(笑)と思い悩みました。

三角関数は凄く役に立つけど、
微分・積分より図形のことを、もっと勉強したかったなと
思います。

高校の3年間で、高校数学の全てを習うのは
時間的に無理なのですね。

有難うございました。

.. 2/20(Mon) 01:07[14164]
■--(無題)
++ たなまさ           

こんにちは。
円x^2+y^2-4x+2y-20=0と直線y=2x+kが2点A,Bで交わる。
このとき線分ABの中点Mの座標をkで表せ。また、kが変化するとき、点Mの軌跡を求めよ。
ちなみに答えは
M(-2k/5,k/5)、直線y=-x/2の2-2√5<x<2+2√5になるそうです
よろしくお願いします
.. 2/19(Sun) 10:29[14160]

++ かーと    
こんばんは。

M の座標は円の方程式と直線の式を連立方程式として解けばいいです。

k の範囲はその方程式の判別式 D>0 となる範囲です。
中点が求められるには交点を 2つ持つ必要がありますので。

あとは x=-2k/5, y=k/5 から k を消去すれば y=-x/2 となり、
x=-2k/5 に先の k の範囲を適用すれば x の範囲も求まります。

.. 2/19(Sun) 23:26[14162]
■--(無題)
++ 星野信也           

2Q/r=(-Q)/(r+3d)でrを求めると
r=-6dになる理由が分かりません。

r/2Q=(2r+6d)/(-2Q)
r=-2r-6d
3r=-6d
r=-2d
自分で計算すると-2dになってします。何処が間違っているのでしょうか。宜しくお願いします。
.. 2/19(Sun) 03:01[14155]

++ かーと    
こんばんは。

最初の式が正しいとするなら、r=-6d という答えのほうが間違えています。

なので、最初の式が間違いか、r=-6d という答えが間違いかのどちらかでしょう。

.. 2/19(Sun) 03:05[14156]
++ 星野信也    
返信ありがとうございます。物理も入って申し訳ないんです以下がその解説で
点A電荷による電位Va=1/4πε2Q/r
点B電荷による電位Vb=1/4πε×(−Q)/(r+3d)
となりVa+Vb=0vになるためには
2Q/r=(−Q)/(r+3d)
となる。ここからrを求めるとr=−6dとなる。

もしこの解説に間違いがないなら、数学じゃなく物理的なところを間違えているのでしょうか。
こちら 

.. 2/19(Sun) 04:28[14158]
++ かーと    
こんばんは。

おそらく物理的な間違いではなく、ただの計算間違いだと思いますよ。

>2Q/r=(−Q)/(r+3d)

単にここからの式変形を解説を書いた人がミスしただけだと思います。

というのも、r=-6d であれ r=-2d であれ、全体の結論が変わらないので、
ミスに気付くことなく解説に載せてしまったのではないですかね。

.. 2/19(Sun) 05:17[14159]
■--(無題)
++ なゆ           

(x+y+2)(x-y+2)
この問題の解き方教えてください。
.. 2/18(Sat) 22:49[14152]

++ かーと    
こんばんは。

y だけが符号が異なっているので、次のように進めるといいです。

(x+y+2)(x-y+2)
= {(x+2)+y}{(x+2)-y}
= (x+2)^2 - y^2
= x^2+4x+4-y^2
= x^2-y^2+4x+4

.. 2/19(Sun) 01:50[14154]
■--(無題)
++ Flocke (高校2年)          

1/√5-2√6-1/√5+2√6
という二重根号の問題が分かりません。
こたえが4+2iとなるそうですが
なかなかたどり着きません。
よろしくお願いします!
.. 2/17(Fri) 21:30[14151]

++ かーと    
こんばんは。

1/√(5-2√6) - 1/√(5+2√6)
ということですかね。

さすがにこれを解いても答えに虚数は出てきませんよ。
何か別の問題の答えを混同しているように思います。

√(5-2√6)

かけて -6、たして 5 になる組み合わせを考えます。

√(5-2√6)
= √(√3 - √2)^2
= √3 - √2

√(5+2√6)

かけて 6、たして 5 になる組み合わせを考えます。

√(5+2√6)
= √(√3 + √2)^2
= √3 + √2

したがって、もとの式は次のように変形できます。

1/√(5-2√6) - 1/√(5+2√6)
= 1/(√3 - √2) - 1/(√3 + √2)

あとは普通に通分などして解いてください。

.. 2/19(Sun) 01:48[14153]
■--重心と相似について
++ マリア           

重心と相似について教えてください。

大きさの異なる、いくつかの三角形を重ねて書いた時、
全ての頂点が3中線の延長上にある(重心が一致している)
時、全ての三角形は相似の関係になりますか?

よろしくお願い致します。
.. 2/15(Wed) 20:39[14146]

++ かーと    
こんばんは。

いったん重心の話から外れて、中線の性質について考えます。

△ABC を考え、BC の中点を M とし、A と M を結びます。

次に AM 上に N を取り、N を通って BC に平行な線を引き、
それと B との交点を B'、C との交点を C' とします。

このとき、N は B'C' の中点になることがすぐにわかります。

では、AB 上に自由に点 B'' を取り、N を通る線を引き、
それと AC の交点を C'' としたとき、この B''C'' は
必ず B''C''//BC となる(=B'C' と完全に一致する)のか、
このことがわかれば先の重心の問題についてもわかります。

これは必ず B''C''//BC となると言うことができます。

というのも、N を通ることを維持したまま B'C' を少しでも回転させると、
確実に長さが等しくなくなるので、B'C' ではない B''C'' は引けません。

これがわかれば、各中線と重心が一致した三角形を書いたとき、
それぞれの辺の組が平行になるので相似になることもすぐにわかります。

.. 2/16(Thu) 03:14[14147]
++ マリア    
かーとさん

有難うございます。

投稿時間を見てビックリです。
(お仕事に差し支えなかったでしょうか?)

理解力が乏しく、あやふやですが、
矛盾が生じてしまうから、
(同心円ではなく)同重心三角形?を書くと相似になる
と思えばよろしいでしょうか?

.. 2/16(Thu) 22:10[14148]
++ かーと    
こんばんは。

これぐらいの時間はときどきあるので、気にしなくて大丈夫ですよ。

ものすごく簡単に言うなら、重心と中線が一致する三角形を書くと、
必ず各辺が平行になると言えるので相似になる、ということですね。

先の回答はなぜ平行になるのかを細かく説明したものですが、
「とにかく平行になるんだ」と理解するだけでもいいと思います。

.. 2/16(Thu) 22:30[14149]
++ マリア    
かーとさん

いつも、有難うございます。
今後とも、よろしくお願い致します。

何年か前にも、書き込みをさせて頂いたことが
あるのですが、
その時のハンドルネームを、すっかり忘れてしまったので
当分、マリアでいきます。

.. 2/16(Thu) 23:16[14150]
■--(無題)
++ シラネアオイ           

こんばんは
初めまして、かーとさん
この度は大変御世話になりました。
子供に教えて教えてあげられなくて😭⤵
有り難う御座いました。
.. 2/14(Tue) 22:03[14145]

■--小学5年生の宿題が解りません。教えてください。
++ シラネアオイ           

168,233.311をある整数で割ったところ3つとも割りきれませんでしたが余りは3つとも同じでした。割った数と余りを求めなさい。
どなたか教えていただけますか。
子供に教えてあげられません。
.. 2/14(Tue) 21:03[14143]

++ かーと    
こんばんは。

仮に「13 で割ると余りが 7 になる数」が 3つあったとします。

すると、それぞれの数は次のように書けます。
13×○+7 ・・・[1]
13×△+7 ・・・[2]
13×□+7 ・・・[3]

それぞれの差をとってみます。
[2]-[1] 13×(△-○)
[3]-[2] 13×(□-△)

余りの部分が消えて、どちらも 13 で割り切れる数になります。

この方法を利用します。

233-168=65
311-233=78

この2つの公約数は 13 なので、割った数は 13 です。

それぞれの数を実際に 13 で割ってみます。

168÷13=12 あまり 12
233÷13=17 あまり 12
311÷13=23 あまり 12

したがって、あまりが 12 だったこともわかります。

.. 2/14(Tue) 21:30[14144]
■--難しい約分について
++ マリア           

また、お世話になります。

約数が、なかなか見つからない約分について
教えてください。

たとえば
133/171 の場合

まず「分子と分母の差」をとって、
171−133=38

さらに、素因数分解して
38=2x19

すると
133/171=(19x7)/(19x9)=7/9

となるそうですが、
なぜ、「分子と分母の差」をとるのか
理由が分かりません。

理由を教えてください。
宜しくお願い致します。

.. 2/13(Mon) 10:26[14136]

++ かーと    
こんばんは。

約分は結局のところ最大公約数を求めればできるので、
ここでは2つの数の最大公約数を求めることを考えます。

たとえば 21×23=483 と 19×23=437 の最大公約数を考えるとき、
この2つをながめてそのまま求めようとするのは難しいです。

そこで、2つの数の差を取ってみると、
21×23-19×23
= (21-19)×23
= 2×23
= 46
となり、これもまた同じく 23 の倍数となっています。

なので、無理に 483 と 437 の最大公約数を求めなくても、
その差である 46 もその最大公約数を約数に持っているので、
46 がどのような数なのかを考えてあげれば十分なのですね。

なので、これは今回質問されたような約分だけにかかわらず、
2つの大きな数の最大公約数を求めるときはいつでも使えます。
(高校になると「ユークリッドの互除法」という名前で、
 この方法をより発展させたものを習うことになります。)

.. 2/13(Mon) 21:54[14137]
++ マリア    
かーとさん

有難うございます。

分子と分母との「差の約数」の中に、
分子と分母の最大公約数が入っているのですね。

もし、
「差」が全く約数を持たない数になったら、
その分数は約分できないと考えれば良いですか?



.. 2/13(Mon) 23:25[14138]
++ かーと    
こんばんは。

>「差」が全く約数を持たない数になったら、
>その分数は約分できないと考えれば良いですか?

約数がない数というのは存在しないですが、
たとえば差が 1 になったときは約分は絶対できないですね。

ちなみに差を素因数分解して出てきた数の、
そのうちのどれでも約分できないケースもあります。
(たとえば 394/401 は 401-394=7 ですが、7 で約分できません)

これは何かミスがあったせいでそうなるわけではなく、
もともと約分できないからそうなってしまうだけです。

.. 2/14(Tue) 00:07[14139]
++ マリア    
かーとさん

早速、有難うございます。

「差」が「1または素数」になった時のみ、
その分数は約分できないと考えれば良いですか?

.. 2/14(Tue) 00:16[14140]
++ かーと    
こんばんは。

>「差」が「1または素数」になった時のみ、
>その分数は約分できないと考えれば良いですか?

その差だけを見て約分できないとすぐにわかるのは、
差が 1 のときだけですね。

素数のときはその素数で割れる可能性がありますので。

なので、差を素因数分解したときに出てくる数の
どれでも割れないかどうかをたしかめるのが基本になります。

.. 2/14(Tue) 00:19[14141]
++ マリア    
かーとさん

そうですね。
素数で割れることもありますね。

丁寧な説明、有難うございました。

.. 2/14(Tue) 00:29[14142]
■--(無題)
++ ハル (高校3年/大学受験生)          

aとbを0≦a≦1,0≦b≦1を満たす定数とする。数列{a(n)}を次の条件によって定める。
a(n)=a, a(n+1)=1/2(a(n)^2+b)
c=1-√1-bとおく。
(3)limit(n→∞)a(n)=cが成り立つことを示せ。

(1),(2)により0≦a(n)≦1が成り立ち、a(n+1)-c=1/2(a(n)+c)(a(n)-c)が成り立つことは示されています。
.. 2/11(Sat) 23:47[14133]

++ かーと    
こんばんは。

a[n]-c = (1/2)(a[n-1]+c)(a[n-1]-c) に
a[n-1]-c = (1/2)(a[n-2]+c)(a[n-2]-c) を代入すると、

a[n]-c = (1/2^2)(a[n-1]+c)(a[n-2]+c)(a[n-2]-c)
= {(a[n-1]+c)/2}{(a[n-2]+c)/2}(a[n-2]-c)
となるので、これを何度も行うと、
a[n]-c = {(a[n-1]+c)/2}{(a[n-2]+c)/2}・・・{(a[2]+c)/2}{(a+c)/2}(a-c)
となります。

0≦a[n]≦1, 0≦c≦1 より、0≦(a[n]+c)/2≦1 となるため、
n→∞ とすると、右辺の a-c 以外は 0≦(a[n]+c)/2≦1 の無限積となります。

a=b=1 のときだけ、全てが 1 の積になるものの、
このときは a-c=0 なので、右辺は 0 となります。

a,b のいずれかが 1 でない場合は 0≦(a[n]+c)/2<1 となるため、
a-c 以外の積の部分が n→∞ とすると 0 に収束します。

したがって、lim[n→∞]a[n]=c となります。

.. 2/12(Sun) 22:50[14135]
■--数2
++ イク           

f(x)=x(x-1)、l(x)=(-2p+1)x+p^2
でこの二つの共有点がs,tのとき
l(x)-f(x)=-(x-s)(x-t)
と表されるらしいんですが、(x-s)(x-t)の前についてるこのマイナスはなんですか??
.. 2/10(Fri) 11:55[14129]

++ かーと    
こんにちは。

l(x)-f(x) を実際に計算すると x^2 の係数は -1 になります。
この x^2 の係数の -1 に相当するのが前についている - ですね。

.. 2/10(Fri) 16:43[14130]
++ イク    
ありがとうございます!
.. 2/11(Sat) 23:49[14134]
■--小町算
++ うかまゆ (小学3年)          

初めてお世話になります。

小3です。

1□2□3□4□5□6□7□89=100

1つだけ×を入れ、他は+か−を入れ式を完成させましょう。


よろしくお願いします。
.. 2/11(Sat) 13:48[14131]

++ かーと    
こんにちは。

とりあえず全部 + にしたらどうなるかを考えます。

1+2+3+4+5+6+7+89=117

さて、1つの + を - に変えるとどうなるかを考えます。

たとえば 10+3 の + を - にして 10-3 にすると、
10+3=13 から 10-3=7 と 3 の 2倍 の 6 小さくなります。

3 小さくなるのではないところがポイントです。

だから +2 のところを -2 にすると 4 小さくなりますし、
+6 のところを -6 にすると 12 小さくなります。

別の言い方をすると、10 小さくしたいときには
その半分の 5 のところの + を - にすればいいです。

さて、+ を - にする前に × をどこかに入れないといけません。

まずは最初の + を × にしてみます。

1×2+3+4+5+6+7+89=116

16 小さくすればいいので、どこの + を - にするか考えます。
でも、8 はないので、違うところを - にしないといけません。

すると、3+5 が 8 なので、+3 と +5 を -3 と-5 にすればよさそうです。

でも、そうすると最初が 1×2-3 となって引けないことになります。

なので、× の場所は変えてあげないといけません。

1+2×3+4+5+6+7+89=118

18 小さくすればいいので、どこの + を - にするか考えます。
でも、9 はないので、違うところを - にしないといけません。

すると、4+5 が 9 なので、+4 と +5 を -4 と-5 にすればよさそうです。

でも、そうすると 1+2×3-4-5 がまた引けないことになります。

なので、× の場所はさらに変えてあげないといけません。

1+2+3×4+5+6+7+89=122

22 小さくすればいいので、どこの + を - にするか考えます。
22 の半分は 11 なので、11 になるような組み合わせを考えます。

すると、5+6 が 11 なので、+5 と +6 を -5 と-6 にすればよさそうです。

1+2+3×4-5-6+7+89=100

今度はちゃんと引けるので、答えを 100 にすることができました。

.. 2/11(Sat) 17:26[14132]
■--数学積分
++ イク (高校3年/大学受験生)          

中心が原点Oで
半径がaの定円C1を、半径a/4の円C2が内接しながら滑ることなく回転する。円C2上の点Pは最初に点A(a,0)にあるとする。円C2の中心をBとするとき以下の問いに答えよ。
(1)角AOB=θとする。ベクトル(→)BPをa、θで表せ。
(2)ベクトルOPをa.θで表せ。
(3)0≦θ≦2πのとき、動点Pが移動する距離を求めよ。

2016年大分大の問題です。お願いいたしますます。
.. 2/ 8(Wed) 00:42[14126]

++ かーと    
こんにちは。

こちらがほぼ同じ内容の問題なので、
これを見ればおおよそ解けるのではないかと思います。

.. 2/ 9(Thu) 14:19[14128]
■--確率
++ 教えてください! (高校3年/大学受験生)          


男10人 女3人を円卓に並べる。

男子が5人以上連続ですわらない確率

を排反の確率で求めたいです。

どなたか教えてください。
答えは1/11です!
.. 2/ 7(Tue) 22:52[14125]

++ かーと    
こんにちは。

>排反の確率で

これは排反な事象の和の確率として求めたいのか、
余事象の確率のことを言っているのか少々わかりませんが。

後者だとすると面倒になりすぎるので避けたほうがいいです。

   女1
  L A
 K  B
J    C
I    D
 H  E
  GF


特定の女性を一番上に固定して、あとの席を上のようにします。

[残りの女性2人が I,H、D,E に座る場合]
残りの女性のうち、1人が D か E に、
もう1人が I か H に座れば、5人並ぶことはありません。

残りの女性を 女2, 女3 と書くことにすると、
女2 が座る席が 4通りで、女3 は 女2 の座った席に応じて 2通りとなります。

男は 10! でいいので、4×2×10! 通りの座り方があることになります。

[女性のうち1人が J か C に座る場合]
この場合はもう1人の女性の席は E か H のみになります。
(J の場合には E、C の場合には H となります)

J か C に座る女性が 女2 か 女3 かで選べるので 2通り、
さらにその女性が J と C のどちらに座るのかで 2通り、
残りの女性は 1通りに決まるので、2×2=4通りとなります。

男は 10! でいいので、4×10! 通りの座り方があることになります。

したがって、男子が5人以上で座らない確率は、
(4×2×10! + 4×10!)/12! = 1/11 となります。

.. 2/ 9(Thu) 14:18[14127]
■--平行四辺形の角
++ sou★ (中学2年)          

平行四辺形ABCDで、角A:角B=3:2の時の角Dを求めよ。
いまいち、よく分かりません。よろしくお願いします。
.. 2/ 6(Mon) 23:57[14121]

++ かーと    
こんばんは。

平行四辺形ですから ∠A=∠C, ∠B=∠D です。

さらにこの4つの角を加えると 360° なので、
これらを総合して利用すればすぐに解けますね。

.. 2/ 7(Tue) 03:22[14124]
■--(無題)
++ あ (高校3年/大学受験生)          

xの2乗+yの2乗=1のとき、
z=x+2y+3の極値を求めよ。
.. 2/ 6(Mon) 15:15[14119]

++ かーと    
こんばんは。

x^2+y^2=1 のグラフと x+2y+3=k のグラフを書いて考えればいいです。

.. 2/ 7(Tue) 03:21[14123]
■--(無題)
++ ノート           

積分について質問させてください

∫[α〜β]g(t)g'(t)dt
=1/2{g(β)}^2-1/2{g(α)}^2

と計算できますよね?
言わば微分した関数が掛かって
いるときは元の関数をそのまま
一つの文字と見て積分できる
みたいなものです。

これは関数を適当に文字でおき
置換積分を暗に実行しているとみれば
当たり前の話で理解できるのですが
疑問があるのは次のような解釈をした場合です

∫[α〜β]g(t)g'(t)dt
=∫[α〜β]g(t){dg(t)/dt}dt
=∫[α〜β]g(t) dg(t)
=1/2{g(β)}^2-1/2{g(α)}

この場合、変数変換が起こっているため
積分範囲が何らかの形で変化しそうなものですが
実際はそのままでないと数値が一致しません。

何が間違っているのでしょうか?
.. 2/ 6(Mon) 11:58[14118]

++ かーと    
こんばんは。

>積分範囲が何らかの形で変化しそうなものですが
>実際はそのままでないと数値が一致しません。

いえ、積分範囲ははっきりと g(α)〜g(β) に変化してますよ。

(t) を記述しているから誤解してしまいやすいだけで、
g を変数 g で積分していると考えてみればわかります。

∫[α~β]gdg
= (1/2)β^2 - (1/2)α^2

積分範囲がそのままだと、こういう結果になりますからね。
g で積分するわけですから、g に α,β を代入することになりますので。

.. 2/ 7(Tue) 03:20[14122]

   


拡張子はhtmに変更して下さい。

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