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■--(無題)
++ アシカ           

英文ですみません
問)
For lzl + lz-2l = 6 describe the locus of z geometrically and obtain a cartesian equation for the locus.


答)
For lzl + lz-2l = 6
substituting z = x + yi
we write

l(x+yi)l + l(x+yi) - 2 l = 6
l(x+yi)l + l(x-2) + yi l = 6
√(x^2 + y^2) +√[(x-2)^2 + y^2] = 6
(x-2)^2 + y^2 = [6 - √(x^2 + y^2) ]^2
x^2 - 4x + 4 + y^2 = 36 - 12 √(x^2 + y^2) + x^2 + y^2
4x - 32 = -12√(x^2 + y^2)
(-4x - 32)^2 = 144 (x^2 + y^2)
16x^2 + 256 x + 1024 = 144x^2 + 144 y^2
128x^2 - 256x + 144y^2 = 1024
128(x^2- 2x) + 144y^2 = 1024
128(x-1)^2 + 144y^2 = 1152

*計算はここまでは何とかわかります。
この後

[(x-1)^2 / 9 ] + (y^2 / 8) = 1

*この式の意味がよくわかりません。
答えにはグラフも載っていますがグラフでは半径は1ではありません。(major axis 6 and minor axis 2 √8.


The locus of z is an ellipse center (1,0) with major axis 6 and minor axis 2 √8.

*(x-1)^2 + y^2 = 1 だったらセンターが(1,0) になるのは分かりますが[(x-1)^2 / 9 ] + (y^2 / 8) = 1 でもセンターが(1,0) になるのが分かりません。
又 major axis 6 and minor axis 2 √8 はどう計算して出せばいいですか?
.. 7/28(Thu) 14:09[13501]

++ かーと    
こんにちは。

これは楕円の方程式ですね。
とりあえずこちらを読んでみるといいでしょう。

.. 7/28(Thu) 17:36[13502]
++ アシカ    
かーとさん楕円の方程式というのがあるんですね、今教えて頂いたサイトと他のサイトもチェックしながら学んでいます。
まずそこから始めてみます。
有り難うございました

.. 7/29(Fri) 12:22[13505]
■--http://
++ れいな           

直線y=ax+a+3はaの値に関わらずある定点を通る。その定点の座標を求めよ。という問題の意味がわかりません。やりかたはいちおうわかるのですが・・・私のやり方は連立方程式でとくというやり方です。先生が好転を出すとか何とか言っていました。なぜこうてんをだすのでしょうか?
.. 7/28(Thu) 14:02[13500]

++ かーと    
こんにちは。

[方法1]
たとえば x=b のとき、y 座標は
y=ab+a+3 となって、a によって座標が変わります。

もしどのような a であっても、ある定点(x 座標を c とします)を
この直線が通るなら、x=c のときの y=・・・ の式から
a が消えてくれないといけないということがわかります。

a が残ると、a によって y の値が変わりますから、
定点(固定された点)にはなってくれないですからね。

そこで、もとの式を上手く変形していきます。

y = ax+a+3
= a(x+1)+3

x=-1 とすれば、a が消えてくれることがわかります。
したがって、x=-1 であれば a の値によらず、つねに y=3 です。

すなわち、x=-1, y=3 がその定点ということになります。

[方法2]
a の値がいくらであっても、その定点は必ず通るのですから、
a=1 のときも a=-1 のときもその定点を通ることになります。

なので、a=1 のときの直線と a=-1 のときの直線の
交点はその定点になる、ということがわかります。

これは a=1 と a=2 などでやってももちろんかまいません。

a=1 のとき y=x+4、a=-1 のとき y=-x+2 なので、
この交点を求めると (-1,3) ということなります。

わかりにくいところがあれば、また聞いてください(●・ω・)

.. 7/28(Thu) 17:36[13503]
++ れいな    
とてもわかりやすかったです!ありがとうございました!
.. 7/28(Thu) 22:12[13504]
■--算数・数学質問掲示板のご利用について
++ かーと           

#新着情報
なし

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このスレッドは定期的に上げておきます。
..11/26(Fri) 05:41[1]

■--(無題)
++ ほのか (高校1年)          


お世話になっております。
根号の計算なのですが。


aを整数とし、2/a-√5の整数部分は2であるとする。
aの値を求めよ。

お願い致します。
.. 7/27(Wed) 16:24[13497]

++ かーと    
こんばんは。

分母は a-√5 でしょうか。
その場合は必ず 2/(a-√5) と括弧を使って書いてください。

2/a-√5 では、分母が a なのか a-√5 なのかわからなくなります。

整数部分が 2 なので、次の関係が成立します。

2≦2/(a-√5)<3

これを連立不等式として解きます。

2≦2/(a-√5)
2(a-√5)≦2  (a-√5 は正と考えてかまいません)
a-√5≦1
a≦1+√5

2/(a-√5)<3
2<3(a-√5)  (a-√5 は正と考えてかまいません)
a-√5>2/3
a>(2/3)+√5

この範囲に当てはまる a は 3 だけです。

.. 7/27(Wed) 23:51[13498]
++ ほのか    

表記の件は申し訳ありませんでした

分かりやすい解説、ありがとうございました!

.. 7/28(Thu) 10:22[13499]
■--(無題)
++ こおり           

こんばんは!
a、bを実数とするとき、P:a^2+b^2=0、Q:a+b=0かつab=0
このとき、必要十分条件なのですが、何故そうなるのですか?
.. 7/26(Tue) 23:08[13494]

++ かーと    
こんばんは。

a^2+b^2=0 ⇔ a=b=0
a+b=0 かつ ab=0 ⇔ a=b=0
をそれぞれ考えればいいでしょうね。

どちらも a=b=0 と等価な関係にありますので。

.. 7/26(Tue) 23:11[13495]
++ こおり    
ありがとうございます!!
.. 7/26(Tue) 23:12[13496]
■--(無題)
++ 蒼 (中学2年)          

こんにちは。
y=-3X^2+4X-2 のグラフの頂点の座標の求め方を教えて下さい。答えは(2/3,-2/3)なのですが、どうしてそうなるのか分かりません。お願いします。
.. 7/26(Tue) 13:03[13489]

++ かーと    
こんにちは。

y = -3x^2+4x-2
= -3{x^2-(4/3)x}-2
= -3{x^2-(4/3)x+(4/9)-(4/9)}-2
= -3{x^2-(4/3)x+(4/9)}+(4/3)-2
= -3{x-(2/3)}^2 - 2/3

したがって (2/3, -2/3) が頂点となります。

次のような方法もあります。

y = -3x^2+4x-2
-y/3 = x^2-(4/3)x+(2/3)  (両辺を -3 で割る)
-y/3 = {x-(2/3)}^2-(4/9)+(2/3)
-y/3 = {x-(2/3)}^2+(2/9)
y = -3{x-(2/3)}^2-(2/3)  (両辺に -3 をかける)

.. 7/26(Tue) 13:08[13490]
++ 蒼 (中学2年)    
一番上の方法で解きたいのですが、三段目の4/9はどうやって求めたのでしょうか?
何度もすみませんが、教えて下さい。

.. 7/26(Tue) 15:13[13491]
++ かーと    
こんにちは。

4/3 の半分 (2/3) の2乗 (4/9) ですね。

.. 7/26(Tue) 15:30[13492]
++ 蒼 (中学2年)    
よく分かりました。
ありがとうございました。

.. 7/26(Tue) 16:06[13493]
■--(無題)
++ moko           

すみません、簡単な分数の計算がどうしてこうなるのかよくわからないので教えてください。

4/5+2/25÷4
答えは11/50なのですがどう計算するのか忘れてしまっていまして。
よろしくお願いいたします。
.. 7/25(Mon) 20:14[13487]

++ かーと    
こんにちは。

(4/5 + 2/25)÷4 ですよね。
そうでないと 11/50 にはなりませんので。

(4/5 + 2/25)÷4
= (20/25 + 2/25)÷4  (通分する:分母をそろえる)
= (22/25)÷4
= (22/25)×(1/4)  (わり算をかけ算に直す)
= 11/50

.. 7/25(Mon) 21:18[13488]
■--(無題)
++ ゆうや           

いつもお世話になっております。小学算数について教えて下さい。
問題
45人のクラスで、2人のクラス委員を選びます。1人1票ずつ投票する場合、必ず当選するためには最低何票必要ですか。
解答
45÷(2+1)+1=16票 となるそうですが、この式が理解出来ません。宜しくお願い致します。
.. 7/24(Sun) 22:49[13482]

++ かーと    
こんにちは。

立候補者が何人かわかっていないと解けないですよ。
単に推薦だけで選ぶのなら1票でも当選できる可能性がありますし。

.. 7/25(Mon) 10:04[13483]
■--中学 文字式の利用
++ デブゴン (中学2年)          

あるクラスで、男子18人の平均身長はa cm、女子16人の平均身長はb cmである。クラス全体の平均身長をc cmとして、aを求める式を書きなさい
という問題があり、答えを見ると
c=18+16分の18a+16bの式が成り立つ。
この式をaについて解いて、a=マイナス9分の8b+9分の17b
という答えになるらしいですが、aについて解くまでの式を教えてください。全く理解できないです。
分数が使えてないので見づらいですが、ご了承を…
.. 7/23(Sat) 00:43[13478]

++ らぐ    
男子の平均身長はaなので男子の総身長は18aとなります.
同様に女子の総身長は16bとなります.
よってこのクラスの平均身長は(18a+16b)/34となります.
よって(18a+16b)/34=cとなりこれを変形すると,
18a+16b=34c
a=-8b/9+17c/9
となります.

.. 7/23(Sat) 02:05[13479]
++ らぐ    
おそらく理解しづらいと思われるところは最初の部分だと思われます.

なぜ平均がaだから総身長が18aだと言えるのかということですが,もし男子が全員身長aと考えればよくわかると思います.
全員が同じ身長aなら平均はaとなりますし,総身長が18aとなることが容易に理解できるはずです.

.. 7/23(Sat) 02:13[13480]
++ デブゴン    
ありがとうございます。理解できました
.. 7/24(Sun) 08:27[13481]
■--(無題)
++ moko           

3×(y×1.8+y)=600×0.07のyを求めたいのですが
答えが5と知ってもよくわかりません。

詳しい解き方を教えていただけないでしょうか?

久しぶりの算数に難儀していてここにたどり着きました。
よろしくお願いいたします!
.. 7/20(Wed) 19:27[13472]

++ かーと    
こんばんは。

3×(y×1.8 + y) = 600×0.07
3×(1.8y + y) = 42  (× の記号を省略など)
3×2.8y = 42  (1.8y+y を計算)
8.4y = 42  (3×2.8 を計算)
y = 5  (両辺を 8.4 で割る)

.. 7/20(Wed) 23:05[13473]
++ moko    
先にカッコの中を解くんですね。
3をyと1.8とyにかけるのかと思い込んでしまいました。

ありがとうございます!

.. 7/20(Wed) 23:17[13474]
■--(無題)
++ るい           

こんばんは!教えてください!
白球3個、赤球2個が入っている袋から同時に2個の球を取り出す。取り出した球の中に白球があれば、白球はすべて袋に戻し、赤球があれば、赤球は袋に戻さないとする。
(1)1回取り出したとき、袋の中が白球だけになる。
(2)2回取り出したとき、初めて袋の中が白球だけになる。
.. 7/19(Tue) 19:31[13469]

++ かーと    
こんばんは。

(1)
2個とも赤球であればいいので 2C2/5C2 となります。

(2)
赤0白2 → 赤2白0
赤1白1 → 赤1白1

この2つのどちらかであればいいことになります。

赤0白2 → 赤2白0
3C2/5C2 × 2C2/5C2

赤1白1 → 赤1白1
(3C1×2C1)/5C2 × (3C1×1C1)/4C2

この両者の確率を足せばいいでしょう。

.. 7/19(Tue) 22:29[13470]
++ るい    
ありがとうございます!


.. 7/19(Tue) 23:35[13471]
■--こんにちは
++ もえり           

y=1/xの極限で、lim(x→−∞)と、lim(x→+1)の区別についてなんですが、前者は、第4限にある曲線のx座標を無限にとばし、後者は第1限の曲線を+1にしていくという考えであっていますか?
前者と後者、同じではないですよね?
どちらのグラフを使うのか、ごっちゃになってしまいます。。
.. 7/16(Sat) 10:53[13465]

++ かーと    
こんにちは。

>第4限にある曲線のx座標を無限にとばし、

グラフの左下の部分は第3象限ですよ。
第3象限のグラフで -∞ に持っていけばいいです。

>後者は第1限の曲線を+1にしていく

はい、そうですね。

.. 7/16(Sat) 12:06[13467]
++ もえり    
あ、間違えていました!
第3象限でした。。。


教えてくださりありがとうございます😊

.. 7/16(Sat) 12:51[13468]
■--複素数平面
++ もえり           

数3の複素数平面の範囲で、等式が満たす点zの全体を図示せよって問題ありますよね?

これは、基本的に、z=x+yiを代入すると求まるというのは、全ての
問題の解放に使えますか?

こーゆー問題では使えないというのはありますか?
.. 7/ 6(Wed) 17:47[13459]

++ かーと    
こんにちは。

「全て使えるか」と問われるとさすがに迷いますが、
大半の問題はその方法で解くことができるはずですよ。

.. 7/ 7(Thu) 11:25[13460]
++ もえり    
そーですか!ありがとうございます!

それから、もう一つ質問なんですが、3次関数のグラフが、極大値だけ、あるいは極小値だけをとるというのは、あり得ないと考えていいですか?

.. 7/ 7(Thu) 11:42[13461]
++ かーと    
こんにちは。

はい、絶対にありえません。

3次関数のグラフは途中に極大や極小があるかどうかにかかわらず、
大きな流れで見れば 右上がり か 右下がり のどちらかになります。
(奇数次の関数は全てこのことが言えます)

しかし、極値が1つだとその形のグラフに絶対になってくれません。
したがって、極値が1つしかないということはありえませんね。

.. 7/ 7(Thu) 11:50[13462]
++ もえり    
遅くなりました😥
どうもありがとうございます

.. 7/16(Sat) 10:54[13466]
■--高校数学お願いします。整数問題です。
++ りんご           

すべての自然数nに対して、
n^5 /15+n^4 /6+n^3 /3+n^2 /3+n/10
が自然数となることを示せ。
という問題です。
分母を2×3×5で揃え、分子を因数分解して、n(n+1)より2で割れるところは理解したのですが、その次の解説で
「また3で割った余りは0,1,2のいずれかであり」
「それぞれに対してn,n+1,2n+1が3の倍数だからn(n+1)(2n+1)は3で割り切れる。」とあるのですが、一つ目の「」が二つ目の「」とどういう繋がりがありますか?n,n+1,n+2だったら分かるのですが…
.. 7/10(Sun) 18:04[13463]

++ かーと    
こんばんは。

少し詳しく書くと次のようになります。

n を 3 で割った余りは 0,1,2 のいずれかであるが、
余りが 0 のとき(n=3k)は n が 3 の倍数となり、
余りが 1 のとき(n=3k+1)は 2n+1 が 3 の倍数となり、
余りが 2 のとき(n=3k+2)は n+1 が 3 の倍数となるので、
n がいずれの場合でも n(n+1)(2n+1) は 3 の倍数となる。

.. 7/10(Sun) 18:46[13464]
■--代数問題?(解けなくて困っています><)
++ アイリ           

こんにちは。以下の問題の解き方がどうしても分からず困っています。

 ・Xを1〜100の実数からランダムに抽出
 ・Yを1〜200の実数からランダムに抽出
 ・Zを1〜300の実数からランダムに抽出

ここで、X²+ Y²+ Z²<10,000となることを「OK」とするとき、
X,Y,Zのランダム抽出を1,000回試行したときに「OK」となる期待値は?

また、下記説明書きがあります。
 ・球の体積の公式は「 V=4/3πr³ 」
 ・この問題がX、Yだけの場合は、1辺が100、もう1辺が200の長方形の中に100の辺に接する形で描かれた半径100の四分円(円の1/4の形)の面積が解答イメージとなる

私のバカな頭でもわかるようにどなたかご説明頂けたら幸いです。
.. 7/ 4(Mon) 10:43[13451]

++ かーと    
こんにちは。

この問題は書き方こそ非常に難解になっていますが、
図形的にとらえればそこまでひどい問題ではないですよ。

>・Xを1〜100の実数からランダムに抽出
>・Yを1〜200の実数からランダムに抽出
>・Zを1〜300の実数からランダムに抽出

こうして選ばれた点 P(X,Y,Z) を考えます。

X,Y,Z は 0〜 ではないかという疑問があるので、
とりあえず以下は 0〜 と考えて進めていきます。

すると、この P がプロットされる場所というのは、
次の8つの頂点を持つ直方体の周または内部となります。

(0,0,0), (100,0,0), (100,200,0), (0,200,0),
(0,0,300), (100,0,300), (100,200,300), (0,200,300)

そして X^2+Y^2+Z^2<100^2 は原点が中心で、
半径が 100 の球の内部ということになります。

とすると、直方体の周または内部に点をプロットして、
それがこの球の内部にも入っているという確率は、
(直方体の内部かつ球の内部の体積)/(直方体の体積)
のようにして考えればいいですよね。

これがわかれば、期待値はそこに 1000 をかければいいです。

.. 7/ 4(Mon) 11:32[13452]
++ アイリ    
++ かーとさん

さっそく大変分かりやすいご説明をありがとうございます。
お陰様で解法が理解できたと思いますが、2点質問させてください。

1. >(直方体の内部かつ球の内部の体積)/(直方体の体積)
⇒この【直方体の内部かつ球の内部の体積】というのは
本問題では、原点を中心とする半径100の四分球(球の1/4形)ということになりますね?

2. >そして X^2+Y^2+Z^2<100^2 は原点が中心で、
  >半径が 100 の球の内部ということになります。
⇒この部分が分からないのですが、噛み砕いて教えて頂けますと幸いです。

何度もすみませんが、よろしくお願い致します。

.. 7/ 4(Mon) 12:20[13453]
++ かーと    
こんにちは。

>本問題では、原点を中心とする半径100の
>四分球(球の1/4形)ということになりますね?

この問題では直方体から球がはみ出ないのでそれでいいですね。

X^2+Y^2+Z^2<100^2

あれ、球の方程式は習ってないのですかね。

X^2+Y^2+Z^2=100^2 という方程式を考えます。
これを √(X^2+Y^2+Z^2)=100 と変形すると、
左辺は原点から (X,Y,Z) までの距離になります。

すなわち、これは空間上において原点からの距離が
100 の点を集めたもの、すなわち原点が中心で
半径が 100 の球を表す方程式ということになります。

これが <100 になると、その球の内側を表します。

.. 7/ 4(Mon) 12:33[13454]
++ アイリ    
++ かーとさん

さっそく大変分かりやすいご説明をありがとうございます。
お陰様で解法が理解できたと思いますが、2点質問させてください。

1. >(直方体の内部かつ球の内部の体積)/(直方体の体積)
⇒この【直方体の内部かつ球の内部の体積】というのは
本問題では、原点を中心とする半径100の四分球(球の1/4形)ということになりますね?

2. >そして X^2+Y^2+Z^2<100^2 は原点が中心で、
  >半径が 100 の球の内部ということになります。
⇒この部分が分からないのですが、噛み砕いて教えて頂けますと幸いです。

何度もすみませんが、よろしくお願い致します。

.. 7/ 4(Mon) 12:35[13455]
++ アイリ    
かーとさん

↑すみません、一つ前の質問がダブって飛んでしまいました。

2点のご説明をありがとうございます。
自分の中でもスッキリしました!

>X^2+Y^2+Z^2=100^2 という方程式を考えます。
>これを √(X^2+Y^2+Z^2)=100 と変形すると、
>左辺は原点から (X,Y,Z) までの距離になります。

⇒なるほど、そうですよね。うっかりしていました。

大変ご丁寧な解説をありがとうございました。

.. 7/ 4(Mon) 12:40[13456]
++ アイリ    
ほぼ解決したのですが、一点だけ最後に。

先ほど、
>本問題では、原点を中心とする半径100の
>四分球(球の1/4形)ということになりますね?

という処ですが、本問題では

四分球ではなく八分球 ですね

.. 7/ 4(Mon) 14:47[13457]
++ かーと    
こんにちは。

>四分球ではなく八分球 ですね

あぁ、そうですね。
球の上半分のさらに 1/4 になりますからね。

.. 7/ 4(Mon) 14:56[13458]
■--円周上を動くときの最大値
++ りこ (高校3年/大学受験生)          

すいません、この問題の解き方を教えて下さい。


点P(x,y)が原点を中心とする半径1の円周上を動くとき、P=y^2+4xの最大値を求めよ。
.. 7/ 3(Sun) 09:11[13446]

++ かーと    
こんにちは。

x^2+y^2=1 の条件のもとでの P=y^2+4x の最大値を求めればいいので、
y^2=1-x^2 を P に代入すると P=-x^2+4x+1 となることから、
あとは -1≦x≦1 を考慮して2次関数の最大最小問題として解きます。

.. 7/ 3(Sun) 09:41[13447]
++ りこ (高校3年/大学受験生)    
回答、ありがとうございます!!

何度も、すいません。
二次関数の最大値4がPの最大値って事ですか?

.. 7/ 3(Sun) 09:58[13448]
++ かーと    
こんにちは。

はい、それでいいでしょう。

.. 7/ 3(Sun) 10:01[13449]
++ りこ (高校3年/大学受験生)    
ありがとうございました!!
.. 7/ 3(Sun) 10:04[13450]
■--(無題)
++ パンスト美脚           

すいません。おしえてください・・・・
-1≦sinθ≦1のとき、cosθのとる範囲は
-1≦cosθ≦1でよいのでしょうか・・・・?

問題集の回答にさらっと書いてあったので
気になってしまいました。

sin0°,360°のとき1で sin180°,270°のとき−1であり、
cos90°のとき1で cos270°のとき−1という理由だからでしょうか・・・・?

.. 7/ 1(Fri) 09:42[13444]

++ かーと    
こんにちは。

そんなに単純には言えないですね。

たとえば -90°≦θ≦90° のときは、
-1≦sinθ≦1 ですが 0≦cosθ≦1 ですし。

.. 7/ 1(Fri) 09:50[13445]
■--(無題)
++ 浜田P (高校1年)          

1枚の硬貨を投げるゲームを行う。表が続けて2回続けて出た時点でゲームは終わるものとする。このゲームが4回以内に終わる確率を求めよ。

4回で終わる、3回で終わる、2回で終わるの3つで場合分けをするのはわかります。問題の答えは1/2になるのですが、答えにたどり着けません。
各場合の式はどうやって立式すればよいのでしょうか?
.. 6/30(Thu) 00:46[13441]

++ かーと    
こんにちは。

式を立てる前にどういう形になればいいかを考えましょう。
表を ○、裏を × で表すこととします。

・3回以上で終わるとき
最後の3回は ×○○ となる必要があります。

これを踏まえて考えると次のようになります。

・4回で終わるとき
?×○○ (? は ○ でも × でも可)

・3回で終わるとき
×○○

・2回で終わるとき
○○

これらそれぞれの確率を求めて足し合わせましょう。

.. 6/30(Thu) 11:38[13443]
■--反復試行
++ 浜田P (高校1年)          

1個のさいころを4回続けて投げるとき、目の和が22以上なる確率を求めよ。

この問題を解いて答えを見たら、不正解でした。その後も考えてもわかりません。
場合分けで間違えていると思うのですが、正しい場合分けを教えてください
.. 6/28(Tue) 06:35[13439]

++ かーと    
こんにちは。

24 → 6が4回
23 → 6が3回、5が1回
22 → 6が3回、4が1回 または 6が2回、5が2回

この全ての確率を反復試行で求めて足せばいいでしょう。

.. 6/28(Tue) 14:04[13440]
++ 浜田P (高校1年)    
ありがとうございました
解けました

.. 6/30(Thu) 00:47[13442]
■--(無題)
++ 郡           

こんばんは!答えが不安な問題があります。教えてください!
0,1,2,3,4,5の6つの数字を3つ並べて3桁の整数を作るとき、
421以下となる組み合わせは何通りあるか。
.. 6/27(Mon) 18:42[13433]

++ かーと    
こんばんは。

1**, 2**, 3** → 3×5P2通り
40*, 41* → 2×4通り
420, 421 → 2通り

これで全部でしょう。

.. 6/27(Mon) 20:03[13434]
++ 郡    
安心しました!ありがとうございました!
.. 6/28(Tue) 03:06[13438]

   


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