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■--問題の答が…
++ NSEW (高校1年)          

単純に答えが知りたいです。
X<3a-2 <四分の3a-2です> を満たすXの最大値が5であるとき、
 4              定数aの値のはんいは?


できれば、答えの導き方も教えてください。
長文失礼しました。
.. 5/28(Sat) 23:44[13334]

■--算数・数学質問掲示板のご利用について
++ かーと           

#新着情報
なし

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このスレッドは定期的に上げておきます。
..11/26(Fri) 05:41[1]

■--解説お願いします
++ Manami           

わからない問題があるので、解説おねがいします。

3x+5>5x-1 5x+2a>4-x を同時に満たす整数が存在し、かつそれが自然数のみになるときaの値の範囲を求めよ。

この問題で答えが-4<a≦2なのですが、私は-4≦a<2になりました。
なぜ-4より大きく2以下なんでしょうか。
解説よろしくおねいします。
.. 5/28(Sat) 21:09[13332]

++ かーと    
こんばんは。

x<3 , x>(-a+2)/3

この2つの共通部分が解になりますね。

x<3 が含む自然数解は 1,2 の2つです。

したがって、共通部分が自然数解を持ち、0以下の整数解を持たないためには、
x>(-a+2)/3 が 2 を解に持ち、0 を解に持たないことが条件となります。

そこから (-a+2)/3 が 0〜2 の間あたりであればいいことがわかります。

大事なのはここからで、(-a+2)/3 が 0 になるときと 2 になるときが、
それぞれ条件を満たすのかどうかをチェックしないといけません。

[(-a+2)/3=0 のとき]
x>0 となるので 0 は解に持たず、ちゃんと条件を満たします。
したがって、(-a+2)/3=0 → a=2 は解に含まれます。

[(-a+2)/3=2 のとき]
x>2 となるので 2 を解に持たず、条件を満たさなくなります。
したがって、(-a+2)/3=2 → a=-4 は解に含まれません。

.. 5/28(Sat) 21:32[13333]
■--式の因数分解
++ Suzuka (高校1年)          

わからない問題があるのでお願いします。

@a^3+b^3+c^3-3abc
を用いて
8^3+27y^3+18xy-1を因数分解せよ。

という問題です。

なぜ@を使うのかもよくわかりません。
教えてください、お願いします。
.. 5/25(Wed) 20:03[13314]

++ かーと    
こんばんは。

8^3+27y^3+18xy-1
= 8^3+27y^3-1+18xy
= 2^3+(3y)^3+(-1)^3-3・2・3y・(-1)

最初の式で a=2, b=3y, c=-1 でしたものとなっているので、
そのまま最初の公式を適用して因数分解することができます。

.. 5/25(Wed) 21:37[13317]
++ Suzuka    
なるほどです!
cを移動させて考えればよかったのですね!有難うございました。

.. 5/28(Sat) 20:26[13331]
■--(無題)
++ 計算           

28+5×(54−□×2)÷11=38 
28+5×(54−□×2)=418
5×(54−□×2)=390
54−□×2=78
□×2=24
□=12 まちがいました
答えは16なんですけど、途中式がわかりません。12になってしまいます。なんででしょうか
.. 5/27(Fri) 20:34[13327]

++ かーと    
こんばんは。

「左の式のうち、最後に計算をするのはどこか」、
このことをつねに考えながら解かないといけません。

28+5×(54-□×2)÷11=38

この中で最後に計算するのは + です。
なので、その部分を最初に処理しないといけません。

5×(54-□×2)÷11=10

.. 5/27(Fri) 20:48[13328]
++ 計算    
÷×+ーの混合の計算の場合、÷×が先にするんだと思って÷を先に見てたのですけどだめなんですか
.. 5/27(Fri) 22:11[13329]
++ かーと    
こんばんは。

「最初に計算するのはどこか」ではなく、
最後に計算するのはどこか」と書いていることに注意してください。

□ の式を解こうと思ったら、○+△=☆ や ○×△=☆ のように、
左の式に +-×÷ のうちの1つだけが残る形にならないといけません。

28+5×(54-□×2)÷11=38

この式では + を最後に計算するので、
いろんな部分をかたまりと考えて整理していったとき、
最終的に残るのは最後に計算する + になります。

すなわち、5×(54-□×2)÷11 を一つのかたまりと見て
これを △ と書くことにすると、式は次のようになります。

28+△=38

こうなると △=10 ということがわかり、
5×(54-□×2)÷11=10 と式を少し簡単にできます。

.. 5/27(Fri) 22:23[13330]
■--方程式を二乗する
++ K (高校3年/大学受験生)          

sint+cost=0(0≦t<2π)を解くとすると、両辺を二乗して、解を出すことに何か問題がありますか。そもそも、一般的に一次方程式の両辺を二乗して解いていくということに問題はありますか?正負とか気をつけた方が良いのでしょうか。よくわからなくなってきたので、解説お願いします
.. 5/26(Thu) 20:19[13322]

++ かーと    
こんばんは。

両辺を2乗すると、しばしば不適な解がまざってきます。
そのため、出てきた解が適切かどうかチェックする必要が生じます。

ものすごくわかりやすい例としては次の式が挙げられます。

x=1

これはどこからどう見ても x=1 が唯一の解です。

しかし、この両辺を2乗すると次のようになります。

x^2=1
x=±1

x=-1 というもともとはなかった解がまざってしまいました。
2乗するとこういうことが起きる点に注意が必要です。

.. 5/26(Thu) 22:34[13326]
■--倍数
++ cheese (高校1年)          

数学Aです。解き方を教えてもらいたいです。

問)150以下の自然数のうち、3の倍数または5の倍数でないものを求めよ。

自分は、150から3の倍数と5の倍数の数個を引いて、
150-(30+50-10)  だと思いましたが、答えは140でした。
この場合の‘または’の意味についても詳しくお願いします

.. 5/26(Thu) 18:28[13321]

++ かーと    
こんばんは。

問題文を書き間違えてはいませんかね。

「3の倍数でない または 5の倍数でない」だと思います。

これはド・モルガンの法則を使うと、
「"3の倍数かつ5の倍数"ではない」となります。

そうすると、150-10=140 であることがすぐにわかりますね。

.. 5/26(Thu) 22:32[13325]
■--6年算数
++ ますます           

答えと解き方を教えてください

文字と式

1mの長さをxgとします
31/2m(分数)の重さは52/3g(分数)です
1mの重さは何gでしょうか?

よろしくお願いいたします
.. 5/26(Thu) 17:41[13320]

++ かーと    
こんばんは。

リボン 5本 の代金は 25円 です。
リボン 1本 の代金は 何円 でしょうか。
式はどのようになるでしょうか。

リボン 5m の重さは 25g です。
リボン 1m の重さは 何g でしょうか。
式はどのようになるでしょうか。

リボン 31/2m の重さは 52/3g です。
リボン 1m の重さは 何g でしょうか。
式はどのようになるでしょうか。

順番に解けばすぐにわかると思いますが、
この3つの問題の式の立て方はどれも同じです。

数が整数から分数になっても式の立て方は変わりません。
「分数だから」と考えるから難しくなってしまうのです。

式の立て方がわからなくなってしまったときは、
出てきている数字を整数にして考えてみましょう。

たいていの場合はそうすれば式をどう立てればいいかわかります。

.. 5/26(Thu) 22:31[13324]
■--因数分解について
++ bambi (中学3年)          


9(x-y)-x+y のやり方を教えてください!
答えは8(x-y)になるそうです。
.. 5/26(Thu) 17:39[13319]

++ かーと    
こんばんは。

9(x-y)-x+y
= 9(x-y)-(x-y)
= 9M-M  (M=x-y とおく)
= 8M
= 8(x-y)

.. 5/26(Thu) 22:27[13323]
■--命題
++ 浜田P (高校1年)          

「|x|<3は、-3<x<3 になるための__________。」
__________に当てはまるのは、「必要十分条件」、「必要条件」、「十分条件」、「必要条件でも、十分条件でもない」のどれか、答えよ。

という問題の解き方を教えて下さい。
お願いします。
.. 5/25(Wed) 20:04[13315]

++ かーと    
こんばんは。

|x|<3 と -3<x<3 は意味するところが全く同じなので、
答えは「必要十分条件」ということになります。

全く同じであることは、数直線に範囲をかけばすぐにわかります。

.. 5/25(Wed) 21:38[13318]
■--不等式の証明
++ トモ (高校1年)          

x>0のとき、(1+x)n乗>1+nx ただしn=2、3、4、・・・

根本から何をしていいのか分かりません。
二項定理を用いて、とありますがここではどのように使用したらいいのですか?

解説お願いします!!
.. 5/24(Tue) 19:12[13311]

++ かーと    
こんばんは。

右辺の 1+nx は nC0+nC1・x と書くことができます。
nC0=1, nC1=x ですからね。

すなわち、右辺は左辺を二項定理で展開したときの最初の二項です。
なので、左辺のほうが大きいのは左辺を展開すれば明らかですね。

.. 5/24(Tue) 20:29[13312]
■--分数をかける計算
++ 林檎 (小学6年)          

分数をかける計算なんですが、帯分数を仮分数にするやり方からまず、微妙にできていないので、ある程度のやり方を教えてください・・・。お願いします・・・。
.. 5/23(Mon) 19:39[13308]

++ かーと    
こんばんは。

質問はできるだけ具体的な問題を書いてするようにしてください。

(1) 最も基本的な問題
3/4 × 1/2

単に分子は分子どうし、分母は分母どうしでかければいいだけです。

3/4 × 1/2
= (3×1)/(4×2)
= 3/8

(2) 約分が必要になる問題
3/4 × 2/3
= (3×2)/(4×3)

上の 3 と下の 3 で約分すると両方とも 1 になります。
上の 2 と下の 4 で約分すると 2 は 1 に、4 は 2 になります。

= (1×1)/(2×1)
= 1/2

(3) 帯分数が出てくる問題
帯分数を仮分数にさえ直せば (1) や (2) と同じです。

4 と 2/3 を帯分数に直す方法を考えます。
1 は 3/3 と同じなので、4 は 12/3 と同じです。

4 と 2/3 は 12/3 と 2/3 を合わせたものなので 14/3 になります。

普通は 4×3+2 という計算をして 14 を出すことが多いです。

.. 5/23(Mon) 19:50[13309]
++ 林檎 (小学6年)    
有難うございます(*´▽`*)わかりやすかったです。
.. 5/23(Mon) 20:12[13310]
■--三角形の辺の比についてです!
++ かぴばら (中学3年)          

AB=8、BC=7、CA=6 である三角形ABCにおいて、∠Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をDとする。線分BDの長さを求めよ。
っていう問題です!
図は書けたのですが、解き方が全くわかりません。。
解説よろしくお願いします!
.. 5/22(Sun) 15:21[13306]

++ かーと    
こんにちは。

こちらの性質を知っていれば簡単ですよ。

.. 5/22(Sun) 17:32[13307]
■--むずかすぃー
++ Volvo X           

隣接3項間漸化式で特殊解のn乗の線型結合で一般項が表せる理由を教えてくださいー
.. 5/22(Sun) 00:15[13304]

++ かーと    
こんにちは。

こちらの1ページ目で説明されてますね。

.. 5/22(Sun) 09:29[13305]
■--数学II 複素数と方程式
++ トモ (高校1年)          

二次方程式x2乗-5x+5=0の2つの解の小数部分を解とする2次方程式を作れ。

上の問題でおそらく小数部分を求めるのに大小関係を使うと思うのですが、そこの部分でぐちゃぐちゃになってしまいます泣

解説お願いします!
.. 5/21(Sat) 11:23[13302]

++ かーと    
こんにちは。

まず、この方程式の2つの解を求めてみます。

x={5±√(25-20)}/2=(5±√5)/2=2.5±(√5)/2
√5≒2.2 なので、2つの解は 約1.4 と 約3.6 です。

ここで、この方程式の2つの解を α,β (α<β) とすると、
2つの解の小数部分は α-1 と β-3 と表すことができます。

この2つを解に持つ2次方程式を作ると次のようになります。

{x-(α-1)}{x-(β-3)}=0

あとはこれを解と係数の関係を利用しながら整理していけばいいです。

ただし、一部だけ解と係数の関係だけではきれいにならないので、
そこだけは最初に求めた解を代入するしかないみたいですが。

.. 5/21(Sat) 11:44[13303]
■--仕事算を教えてください。
++ なお (小学6年)          

こんばんは、いつも仕事算でつまずいてしまいます。
この問題を教えてください。

Aさんは、2時間30分で花時計の半分の面積にパンジーを植えることができます。

残りの半分の面積に植えるには、途中からBさんが40分間手伝うと、2時間で終わります。

残り半分の面積をBさんが一人で植えるとしたら、何時間何分かかりますか?
.. 5/18(Wed) 21:57[13288]

++ かーと    
こんにちは。

とりあえず全体の仕事を 1 とします。

A さんは 5/2 時間で 1/2 の仕事ができることがわかるので、
1時間では 1/2÷5/2=1/5 の仕事ができるということになります。

残り半分は A さんが 2時間、B さんが 40分 の作業をしています。
なので、ここで A さんがした仕事は 1/5×2=2/5 となります。

そうすると、B さんのした仕事は 1/2-2/5=1/10 となります。

B さんは 2/3時間で 1/10 の仕事をするので、
1時間でする仕事は 1/10÷2/3=3/20 となります。

半分(1/2) を B さん1人ですると 1/2÷3/20=10/3、
すなわち 3時間20分 かかるということがわかります。

---------------------

次のように解くと、もう少し解くのが早くなります。

B さんが手伝ったことで、A さんの作業は 30分短くなり、
そのかわり B さんが 40分の作業をしたことになりました。

すなわち、A さんが 30分 でする作業と、
B さんが 40分 でする作業は同じになります。

A さんは 5/2 時間で半分の仕事を終えられるので、
B さんはその 4/3倍の 5/2×4/3=10/3 時間=3時間20分 で終えられます。

.. 5/19(Thu) 09:47[13295]
++ なお (小学6年)    
かーとさん へ

こんばんは、

仕事の量と時間が同じ分数だったので始めは混乱したけど、1時間の仕事量をはっきりさせて考えたらよく分かりました。ありがとうございました。

わたしは、簡単にに解けそうな気がするのに解けない問題があります。いくら考えても解けないので、解説を見ると、なーんだー、何でこんな問題をとけなかったんだろうとがっかりします。
かーとさんはどうしてすらすらと解けるんですか?

.. 5/20(Fri) 22:50[13300]
++ かーと    
こんばんは。

うーん、やっぱりいろんな問題を解いていく中で
ポイントやコツになっている部分を見抜いて、
そこを身につけていくことのくり返しですかね。

たとえば仕事算であれば、
・まず単位時間(1時間、1日など)でする仕事の量を調べる
・2人以上で作業をしているときは、1人1人に分けて考える
の2つが大きなポイントですね。

>残りの半分の面積に植えるには、途中からBさんが40分間手伝うと、2時間で終わります。

たとえばこの部分はそのまま読むと難しく見えます。
でも、このように分けて考えればそうでもないです。

Aさんの仕事が 2時間、B さんの仕事が 40分で、
この2つを合わせると 1/2 の仕事になる

問題文では「2時間のうちの40分を B さんが手伝った」
となってますが、これは別に A さんが 2時間仕事をしてから、
後で B さんが 40分仕事をしたと考えても同じなのですよね。

なので、より単純に考えられるように分けるといいわけです。

こうしたコツを押さえれば、いろんな問題に対応できるようになっていきます。

.. 5/20(Fri) 23:36[13301]
■--図形と計量
++ ぼのん (高校3年/大学受験生)          

△ABCにおいて、AB=5、BC=√7、CA=2√3とする。cos∠BAC=√3/2より、△ABCの面積は5√3/2である。また、頂点Aから直線BCに下ろした垂線とBCの交点をNとするとAN=5√21/7である。
以下、3点A、B、Nを通る円をOとし、円Oと直線ACの交点のうちAと異なる方をMとすると∠AMB=90°、∠ANB=90°より、CM=?
CMの答えが√3/2になるのですが、どうやったらその答えになるのか分かりません。解説よろしくお願いします。
.. 5/18(Wed) 12:01[13285]

++ かーと    
こんにちは。

△CNA∽△CMB を使えばすぐに求まるでしょう。

CN は △CNA に三平方の定理を使えば求まるので、
あとは CA:CB=CN:CM とすればすぐに求まります。

.. 5/19(Thu) 08:50[13292]
++ ぼのん (高校3年/大学受験生)    
回答ありがとうございます!見落としてました…
.. 5/19(Thu) 21:07[13299]
■--恥ずかしい質問ですが
++ ももこ           

1:10ってどういうことでしょうか
5:5なら半分ってわかるのですが^^;
馬鹿にされそうで聞こうに聞けずここに書いてみます(^_^;)
むしろ1:10は成り立つのでしょうか?
.. 5/18(Wed) 19:47[13287]

++ かーと    
こんにちは。

○:△ の左を A、右を B と呼ぶことにします。

次の2つの解釈のどちらでもいいです。

・全体を 11 としたとき、A が 1、B が 10 を持っている
・B が A の10倍の量を持っている

日常では比を使うときに、直感的に理解しやすいように
全体を 10 や 100 などの切りのいい数にして扱いますが、
実際は別に全体の数はいくつにしたってかまいません。

3:4 であれば全体が 7 で、A がそのうちの 3 で、
B がそのうちの 4 を持っていることになります。

むしろ数学では全体を切りのいい数字にするよりも、
全体量をできるだけ小さくできるように整理します。

たとえば 5:5 であれば、1:1 にしてしまうことが多いです。

.. 5/19(Thu) 09:04[13294]
++ ももこ    
こんばんわ‼︎
かーとさん、ご回答ありがとうございました(^^)
どうして1:9じゃないんだろうと思っていて、
先生にも質問しにくかったので、分かりやすい回答で
助かりました‼︎ありがとうございました(^-^)

.. 5/19(Thu) 20:26[13298]
■--(無題)
++ 821           

AB=AC=AD=2であり角BAC=角CAD=角DAB=90となる三角錐がある。辺CDの中点をMとする。底面BCDの一辺の長さは?の正三角形である。頂点Aから底面B。Dにおろした垂線をAGとする。GはBM上にある。この時AM、BM、GM、AGの値は?。次に三角錐ABCDに内接する球について考える。球の中心をQとする。球は底面BCDと点Gで、側面ACDの線分AM上の点Hで接している。直線AMとQAは直交しQH=?である。QはAG上にあり三角形AMGと三角形AQHが掃除であることを利用すると内接円の半径は?となる

こういうの苦手…。解説お願いします
.. 5/19(Thu) 08:10[13291]

++ かーと    
こんにちは。

いきなり投げないで順を追って考えていけば、
いろいろとわかる情報があるのではないですか。

△ABC は AB=AC=2 の直角二等辺三角形なので、
BC の長さについてはすぐにわかるはずです。

これは他の A を含む三角形についても同様なので、
△BCD が正三角形になるということもすぐわかります。

△BCD は正三角形なので、G は △BCD の重心&外心&内心になります。
その情報から問題で求められている4辺の長さもすぐにわかります。

>直線AMとQAは直交し
直交するのは AM と QH ではないですかね。

問題の図から △AGM を切り出し、AG 上に Q を考えます。
このとき、QG=QH かつ QH⊥AM となるように取ります。

あとはここに相似などを適用すれば解けるでしょう。

.. 5/19(Thu) 10:38[13297]
■--(無題)
++ もも           

一辺の長さが1である立方体ABCD-EFGH。線分AGが三角形BDEと交わる点をP、角CFHと交わる点をQとする。
AB,BQ、QG,cosABP,cosACQの値は?
四角形ABDEの体積は?
立方体ABCD-EFGHの内部で三角形BDEと三角形CFHの間の部分の体積は?

模範解答がなくて困っています。解説よろしくお願いします
.. 5/19(Thu) 07:34[13289]

++ もも    
立方体ABCD-EFGHは頂点Aの下に頂点Eが、頂点Bの下に頂点Fが、頂点Cの下に頂点Gが、頂点Dの下に頂点Hがある立方体である
.. 5/19(Thu) 07:35[13290]
++ かーと    
こんにちは。

P は BD の中点と E を結ぶ線上にできることがわかります。
また、BD の中点は AC の中点とも一致しています。

そこで、BD,AC の中点を X、FH,EG の中点を Y とします。

次に A,C,G,E の4点を通るように切った断面 ACGE を考えます。
AC の中点 X と GE の中点 Y もここに書き加えておきます。

あとは AG と EX の交点がP、AG と CY の交点が Q なので、
AP,PQ,QG などの長さがわかり、あとの問題も連鎖的に解けます。

.. 5/19(Thu) 10:21[13296]

   


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