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■--三角形
++ トモ (高校2年)          

2x+1,x^2−1,x^2+x+1が三角形の3辺となる条件を求めよ。また、最大辺に対する角の大きさθを求めよ。

解法が全く分かりませんでした。解説をお願いします!
.. 3/29(Wed) 23:45[14253]

■--図形と計量
++ トモ (高校2年)          

2次方程式lx(x−2)l=x+aの実数解の個数をaの値によって分類せよ。ただし、aは実数とする。

グラフを利用してみたのですが、いまいちうまく解けませんでした。指針と解説をお願いします!!
.. 3/29(Wed) 23:40[14252]

■--(無題)
++ ゆあ           

x^2+2xy+3x+2y+2
これの因数分解の仕方を教えてください!
.. 3/29(Wed) 14:16[14248]

++ かーと    
こんばんは。

y のほうが次数が低いので、y で整理します。

x^2+2xy+3x+2y+2
= 2xy+2y + x^2+3x+2
= 2y(x+1) + (x+1)(x+2)
= (x+1)(2y+x+2)
= (x+1)(x+2y+2)

.. 3/29(Wed) 18:29[14251]
■--(無題)
++ まーき           

こんにちは。入試レベルの問題なんですが、回答して下さい。
サイコロを続けて100回投げるとき、1の目がちょうどk回(0小なりイコールk小なりイコール100)出る確率は100Ck×x/6^100であり、この確率最大になるのはk=yのときである。xとyを求めよ。
.. 3/29(Wed) 11:20[14247]

++ ・ス・ス・ス[・ス・ス    
こんばんは。

nCr のことを C(n,r) と表すことにします。

確率そのものはただの反復試行なので、
P(k) = C(100,k)(1/6)^k*(5/6)^(100-k)
= C(100,k){5^(100-k)/6^100}
となります。

確率が最大になる点は P(k+1)/P(k) を計算して求めます。

P(k+1)/P(k)>1 の範囲では確率が増加、
P(k+1)/P(k)=1 のときは確率が横ばい、
P(k+1)/P(k)<1 の範囲では確率が減少するので、
確率が増加・横ばいから減少に転ずる k を求めれば、
そのときに P(k) が最大になるということがわかります。

.. 3/29(Wed) 18:28[14250]
■--わかりません
++ まーき           

昨夜質問させて頂いたのですが何故軸がx=0になると答えがまとまるのでしょうか。答えて頂からと助かります。
.. 3/29(Wed) 11:09[14246]

++ かーと    
こんにちは。

2次関数のグラフはもともと軸に対して左右対称になるので、
y軸対称になるなら、グラフの軸が y軸そのもの(x=0) になればいいですね。

.. 3/29(Wed) 18:11[14249]
■--算数・数学質問掲示板のご利用について
++ かーと           

#新着情報
なし

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このスレッドは定期的に上げておきます。
..11/26(Fri) 05:41[1]

■--わかりません
++ まーき (高校1年)          

aを定数とし、xの二次関数y=x^2−2(a+2)+a^2−a+1のグラフをGとする。グラフGがy軸に関して対象になるのはa=bのときである。bを求めよ。この問題の理想的な回答をお願いします。
.. 3/28(Tue) 17:18[14243]

++ かーと    
こんばんは。

-2(a+2) の部分は -2(a+2)x ですよね。

軸が x=0 になればいいので、a+2=0 → a=-2、
と解くのがおそらくは最も簡単だと思います。

.. 3/28(Tue) 21:09[14245]
■--(無題)
++ こおり           

こんばんは!少しつまづいてるのでご教授ください!
xについての二次不等式 x^2-2x-8>0…@,(x-1)(x-4a)<0…Aがある。
ただし、aは定数。
問)a≠1/4とする。不等式@,Aを同時に満たす整数xが1つだけ存在するようなaの値の範囲を求めよ。
この問題で、解答には5/4<x≦3/2,-1<x≦-3/4とありますが、なぜ不等号に=がつくのかが分かりません。
.. 3/28(Tue) 00:44[14242]

++ かーと    
こんばんは。

正しくは 5/4<x≦3/2, -1≦x<-3/4 ではないですかね。

@ は (x-4)(x+2)>0 より x<-2, 4<x となります。

したがって、整数解が 1つだけになるなら、
それは x=-3 か x=5 のどちらかとなります。

A は 4a<1 なら 4a<x<1、1<4a なら 1<x<4a です。

すなわち、4a<1 なら 4a が -4〜-3 のあたりの範囲、
1<4a なら 4a が 5〜6 あたりの範囲だとわかります。

問題は 4a が -4 や -3、5 や 6 と重なるときです。

このときに条件を満たすなら不等号に = がつきますし、
条件を満たしていないなら不等号に = はつきません。

それを個別に見ていくことが重要となります。

4a=-4 のとき、A の解は -4<x<1 となります。

このとき、-3 は共通解で -4 は共通解にはならず、
条件を満たすので 4a=-4 (a=-1)のときは = をつけます。

4a=-3 のとき、A の解は -3<x<1 となります。

このとき、-3 は共通解にならず、条件を満たしません。
したがって 4a=-3 (a=-3/4)のときは = をつけません。

ゆえに -1≦a<-3/4 ということになります。

4a=5 や 4a=6 のときにも同様に考えればいいでしょう。

.. 3/28(Tue) 21:08[14244]
■--数の性質
++ めっちゃくちゃこまりんぼ (小学6年)          

宜しくお願い致します。

7で割ると2余り、11で割ると6余り、13で割ると8余る整数の中で、小さい方から数えて3番目の整数はいくつですか?


それぞれ5を足せば割り切れると答えにありますが、どう検討をつけていいのかわからないです。
.. 3/27(Mon) 19:37[14239]

++ かーと    
こんばんは。

これも考え方はさっきの質問と同じですね。

7-2, 11-6, 13-8 がどれも 5 となっているので、
全部 5 を足すと割り切れる数になるということです。

.. 3/27(Mon) 20:04[14241]
■--数の性質
++ こまりんぼ (小学6年)          

宜しくお願い致します。

6で割ると3余り、11で割ると8余る整数の中で、200に最も近い整数はなんですか?

答えに6と11の最小公倍数から3引いた数とあるけど、8のあまりに注目しない理由がわからないです。
.. 3/27(Mon) 19:30[14238]

++ かーと    
こんばんは。

たとえば次のような問題なら簡単に解けるはずです。

「7 で割ると 3余り、11 で割ると 3余る数の中で〜」、
これなら 3 を引けば 7 と 11 の公倍数になるとわかります。

「7 で割ると 2余り、11 で割ると 4余る数の中で〜」、
こうなってしまうとちょっと簡単には解くことができません。

地道にいろいろ書いて探すような感じになってしまいます。

「7 で割ると 6余り、11 で割ると 10余る数の中で〜」、
これは同じように難しく見えますが、実はこれは簡単です。

7 で割った数の余りは、数が 1 大きくなるごとに
0→1→2→3→4→5→6→0→ ・・・ となっていきます。

11 で割った数の余りは、数が 1 大きくなるごとに
0→1→2→3→4→5→6→7→8→9→10→0 ・・・ となります。

要するに「7 で割ると 6余る」数は 1 を足すと 7 で割り切れ、
「11 で割ると 10余る」数も 1 を足すと 7 で割り切れます。

こういう感じで簡単に解けるタイプの問題はどこを見るかというと、
「7 で割ると 6余る」→ 7-6=1
「11 で割ると 10余る」→ 11-10=1
と、差をとったときに出てくる数が同じというところです。

今回の問題だと、
>6で割ると3余り
>11で割ると8余る

6-3 と 11-8 がどちらも 3 なので、「3 を足せば簡単になる」とわかります。

.. 3/27(Mon) 20:03[14240]
■--平行四辺形の成立条件
++ 中二 (中学2年)          

平行四辺形の成立条件の一つの、

一組の対辺が平行で等しい

これを

一組の対辺が等しく平行

じゃだめですか?

テストで書いたら×された……
.. 3/26(Sun) 22:34[14235]

++ かーと    
こんばんは。

うーん、そのあたりは採点者によるとしか言えないですね。
自分だったら正解にするだろうなぁ、とは思いますが。

ただ、順番を逆に書いてしまうと、
「一組の対辺が同じように平行」
みたいな意味に取れる面もありはするのですよね。

.. 3/26(Sun) 23:39[14236]
++ 中二 (中学2年)    
………先生△1点くらいくれてもよかったのに。
ありがとうございました。


.. 3/27(Mon) 09:17[14237]
■--三辺との接点
++ マリア           

また、よろしくお願い致します。

三角形の内接円を描くとき、
円と辺との接点は、
(角の二等分線の延長線と対辺との交点ではなく)
内心から、各辺へ降ろした垂線が、
内接円の半径となるのですよね?

では、
角の二等分線の延長線と各辺との交点が、
そのまま、接点とすることができるのは、
正三角形の時だけですか?
.. 3/23(Thu) 14:56[14232]

++ かーと    
こんばんは。

これって結局は「角の二等分線がその頂点から下した垂線と
一致する三角形は何か」という話に単純感できますが、
そうするとそれは正三角形のみだとすぐにわかりますね。

証明についてもごく簡単に行うことができます。

.. 3/24(Fri) 00:32[14233]
++ マリア    
かーとさん
有難うございました。

.. 3/24(Fri) 01:20[14234]
■--因数分解の問題にて・・・
++ 勉強中さん (中学3年)          

 因数分解の問題にて、

a(x-y)-bx+by
=a(x-y)-b(x-y)
=...続くけどカット

となっているのですが、1段目の-bx+bxの所が-b(x-y)になる理由がわかりません。
 共通因数(b)をくくりだしているのはわかるのですが、私がやると-b(x+y)になってしまいます。
 なぜ-b(x-y)になるのでしょうか?
.. 3/21(Tue) 19:32[14229]

++ かーと    
こんばんは。

そこは本当は b でくくっているのではないのですよ。
b ではなく、-b でくくっているのです。

-bx+by を b でくくると b(-x+y) となりますから。

-b でくくるのをものすごく面倒臭く書いてみると、
-bx+by=-bx-b(-y)=-b(x-y) というふうになりますが、
b でくくるとカッコの中が -x+y になるのに対して、
-b だとその反対の x-y になると考えるほうが楽でしょう。

.. 3/21(Tue) 21:51[14230]
++ 勉強中さん (中学3年)    
そういう事だったのか・・・!ありがとうございました!
.. 3/21(Tue) 22:40[14231]
■--(無題)
++ 😆           

1個の定価a円のりんごが3割引で売られていた。このりんごを5個買って、千円札一枚を出したときのお釣りがb円であった。このときbをaを用いて表しなさい。
.. 3/21(Tue) 15:38[14227]

++ かーと    
こんにちは。

りんご1個の定価は a 円です。

3割引きで売られていたということは、
定価の 7割で売られていたということなので、
りんご1個は 0.7a 円で売られていたことになります。

それを 5個買ったので、5×0.7a → 3.5a 円になります。
これに千円札1枚を出したときのおつりは 1000-3.5a 円です。

そのおつりが b 円だったので、
b=1000-3.5a
が b を a で表した式になります。

.. 3/21(Tue) 16:19[14228]
■--媒介変数表示
++ waka           

nは自然数とする。
媒介変数tによって、
  x=sin t , y=sin 2nt (0≦t≦π)と表される曲線C_nで囲まれた部分の面積S_nを求めよ。

 という問題(2013筑波大第2問)の解答の中で

「 x=f(t), y=g(t)とおいて
 f(π-t)=sin(π-t)=sin t=f(t)
g(π-t)=sin(2nπ-2nt)=-sin 2nt=-g(t)
これより、曲線C_nの0≦t≦π/2の部分とπ/2≦t≦πの部分はx軸対称になる。」
と書いてありますが、どういうことですか?
よろしくお願いします。
.. 3/16(Thu) 12:55[14214]

++ かーと    
こんにちは。

結局その式の意味するところは、
「t=a のときと t=π-a のときでは、
 x の値は同じになり、y の値は絶対値が同じで異符号になる」
ということです。

別の言い方をすれば、
「t=a が表す点の座標と t=π-a が表す点の座標は
 x の値が同じで、y の値は絶対値が同じで異符号、
 すなわち x軸について対称な点を表す」
ということになります。

それを意識しながら簡単な図でもかけばわかりますが、
これは結局「0 と π の真ん中である π/2 に対して対称」
ということを意味していることが分かります。

.. 3/16(Thu) 13:49[14215]
++ waka    
ありがとうございました。
あと、同じ問題で2つ質問があります。
1つ目は、
 S_n=2Σ[k:1〜n]∫[x:sin(k-1)π/(2n)〜sinkπ/(2n)] |y|dx
=2Σ[k:1〜n]∫[x:(k-1)π/(2n)〜kπ/(2n)]|sin 2nt|cos tdt
とここまでは分かるのですが、
=2Σ[k:1〜n]∫[x:(k-1)π/(2n)〜kπ/(2n)]|sin 2ntcos tdt|・・・@
と絶対値がcos tdt までかかっています。こんなことできるのですか?

2つ目は、@の続きで、条件式から
2Σ[k:1〜n]∫[x:(k-1)π/(2n)〜kπ/(2n)]|sin 2ntcos tdt|
=2Σ[k:1〜n]|((-1)^{k+1}2n)/(4n^2-1)*{coskπ/(2n)+cos(k-1)π/(2n)}|
=4n/(4n^2-1)Σ[k:1〜n]{coskπ/(2n)+cos(k-1)π/(2n)}
というように絶対値がはずれているのはどうしてですか?

よろしくお願いします。
ちなみに条件式とは
  Σ[k:1〜n-1]coskπ/(2n)=(1/2)*(1/(tanπ/(4n))-1)
です。





.. 3/18(Sat) 11:45[14219]
++ かーと    
こんにちは。

[1つめ]
Σ[k:1〜n]∫[x:(k-1)π/(2n)〜kπ/(2n)]

この範囲を見ると x はトータルとしては
k=1 のときの積分の左端である 0 から始まり、
k=n のときの積分の右端である π/2 まで動きます。

この範囲において cost はつねに正なので、
絶対値の中に加えても何も問題は起きませんね。

[2つめ]
cos に関する部分は先ほどと同様の理由で絶対値を外しても問題ありません。
2n の部分も 1/(4n^2-1) の部分もつねに正なので絶対値は外せます。

すると符号と関係するのは (-1)^(k+1) の部分のみになりますが、
これは絶対値がつねに 1 なので、|(-1)^(k+1)|=1 として、
この部分だけ消してしまえば絶対値は外せることとなります。

.. 3/18(Sat) 12:37[14221]
++ waka    
ありがとうございました。
.. 3/21(Tue) 12:11[14226]
■--(無題)
++ ななし           

ヤコビ行列 階数
--------------------------
f:R^4→R,
f(x, y, z, w) = x^2+y^2+z^2+w^2-1
f^(-1) (0)の各点でのfのヤコビ行列
J(f) = ((∂f/∂x), (∂f/∂y), (∂f/∂z), (∂f/∂w))
の階数を求めよ。
--------------------------
この問題がわかりません。
どなたか教えて頂いけませんか?
.. 3/18(Sat) 14:25[14222]

++ かーと    
こんばんは。

申し訳ないですが、うちの掲示板の対象外ですので、
こちらを利用されるのが一番いいと思いますよ。

.. 3/18(Sat) 18:46[14225]
■--(無題)
++ 星野信也           

R1+R2=2(R1+R2R3/R2+R3)

R3を求めるとR3=R2(R2-R1)/R1+R2になるそうですが、全然なりません・・・途中式を教えてください。お願いします。
.. 3/18(Sat) 07:38[14218]

++ かーと    
こんにちは。

R1+R2=2{R1 + R2R3/(R2+R3)} ですかね。
カッコを多用して式の解釈をわかりやすくしてください。

R1+R2=2R1 + 2R2R3/(R2+R3)
R2-R1=2R2R3/(R2+R3)
(R2-R1)(R2+R3)=2R2R3
R2(R2-R1)+R3(R2-R1)=2R2R3
R2(R2-R1)+R2R3-R1R3=2R2R3
R2(R2-R1)=R1R3+R2R3
R2(R2-R1)=R3(R1+R2)
R3={R2(R2-R1)}/(R1+R2)

.. 3/18(Sat) 12:29[14220]
++ 星野信也    
ありがとうございます!大変助かりました。良かったらこういう問題を解くときのコツがあれば教えて頂けないでしょうか。
.. 3/18(Sat) 18:16[14223]
++ かーと    
こんばんは。

この式変形ではあまりテクニカルなことはしてませんが、
あえて言うなら「ミスしにくいように進める」ことでしょうね。

たとえばいきなり両辺に R2+R3 をかけるとミスしやすいので、
まず右辺にある 2R は左辺に持っていっておいたうえで、
両辺に R2+R3 をかけるとミスはしにくくなりますね。

あとは R3 を含む項を地道に一方に集めているだけなので、
あまり急ごうとせずにていねいに進めることぐらいですかね。

.. 3/18(Sat) 18:44[14224]
■--(無題)
++ まこ           

f(x)=x^3-ax^2+4が区間0≦x≦1において常に正の値をとるような定数aの値の範囲を求めよ。

この問題の解説お願いしますm(_ _)m
.. 3/17(Fri) 13:21[14216]

++ かーと    
こんにちは。

地道に微分と増減表を利用して解いていきましょう。

f(x)=x^3-ax^2+4

f'(x)=3x^2-2ax=0
x(3x-2a)=0
x=0, 2a/3

[1] 2a/3>0 (a>0) のとき
x=0 で極大、x=2a/3 で極小を取ります。

f(2a/3)=4-(4/27)a^3>0
a^3-27<0
(a-3)(a^2+3a+9)<0
a<3 で f(2a/3)>0 となります。

したがって、a<3 のときは確実にセーフとなりますが、
この範囲については実際にはもう少し吟味が必要です。

2a/3>1 (a>3/2) のときは、0≦x≦1 より右に極小が来るので、
極小が負でも f(1)>0 であれば十分で f(1)=5-a>0 → a<5 より、
a<3 のときだけでなく、3/2<a<5 の範囲でもいいことになり、
それらの条件をすべて合わせると 0<a<5 ならいいことになります。

[2] 2a/3=0 (a=0) のとき
f(x)=x^3+4 となり、0≦x≦1 ではつねに正となります。

[3] 2a/3<0 (a<0) のとき
x=2a/3 で極大、x=0 で極小を取ります。

f(0)=4 が極小で、以降は右上がりのグラフなので、
0≦x≦1 ではつねに正となります。

[1]〜[3] を総合すると a<5 であればいいということになります。

.. 3/17(Fri) 13:58[14217]
■--(無題)
++ あかり (高校2年)          

2進法で表された数xについて、次の設問に答えよ。
なお、xにおける整数部分と少数部分の桁数は、いずれも最大5桁である。
(1)xの最大値を求め、10進法で表した結果を答えよ。

この問題の解き方がわかりません。解説お願いします。
.. 3/15(Wed) 13:59[14212]

++ かーと    
こんばんは。

整数部分も小数部分も最大5桁ということは、
2進数で *****.***** のような形なわけですよね。

最大になるならこれが全部 1、
すなわち 11111.11111 であればいいので、
2^4 + 2^3 + 2^2 + 2 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^4 + 1/2^5
= 16+8+4+2+1+0.5+0.25+0.125+0.0625+0.03125
を計算すればいいのではないですかね。

.. 3/15(Wed) 14:03[14213]
■--(無題)
++ 質問です           

早い解答ありがとうございます
自分の答えが合ってて安心しました。ネットの掲示板の人は45°の人が多くて135°が間違いみたいになってましたけど。45°がどこから出てきたのかよくわかりません。自分はベクトルの内積を利用してコサインからなす角を求めました
.. 3/14(Tue) 01:43[14211]


   


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